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我们来解决第13题三数平均值问题。题目给出了三个条件：p和q的平均数是13，q和r的平均数是16，r和p的平均数是7。我们需要求出p、q、r三个数的平均数。首先将这些条件转化为代数方程。平均数的定义告诉我们，两数之和除以2等于平均数。因此我们可以建立三个方程：p加q除以2等于13，q加r除以2等于16，r加p除以2等于7。将这些方程化简，我们得到：p加q等于26，q加r等于32，r加p等于14。这样我们就建立了一个三元线性方程组。
现在我们来求解这个三元线性方程组。我们有三个方程：p加q等于26，q加r等于32，r加p等于14。解这类方程组的一个巧妙方法是将三个方程相加。这样得到2倍的p加q加r等于72，因此p加q加r等于36。现在我们知道了三数之和，就可以分别求出每个数。r等于总和减去p加q，即36减26等于10。同样地，p等于36减32等于4，q等于36减14等于22。让我们验证一下：4加22等于26，正确；22加10等于32，正确；10加4等于14，也正确。因此三个数的平均数就是36除以3等于12。
现在我们来解决第16题，这是一个将代数方法应用于几何问题的典型例子。题目告诉我们：一个直角三角形的三边长之和为16厘米，这三边的平方和是98平方厘米，要求这个三角形的面积。首先我们设三边长为a、b、c，其中c是斜边。根据题目条件，我们可以建立两个方程：a加b加c等于16，a的平方加b的平方加c的平方等于98。由于这是直角三角形，还要满足勾股定理：a的平方加b的平方等于c的平方。现在我们有三个方程，可以开始求解。将勾股定理代入第二个条件，得到a的平方加b的平方加c的平方等于c的平方加c的平方等于2倍c的平方。因此2倍c的平方等于98，解得c的平方等于49，所以c等于7。
现在我们继续完成直角三角形问题的求解。已知c等于7，我们还有两个条件：a加b等于9，a的平方加b的平方等于49。为了求出a和b的具体值，我们可以利用完全平方公式。a加b的平方等于a的平方加2ab加b的平方。将已知条件代入，得到9的平方等于49加2ab，即81等于49加2ab，所以2ab等于32，ab等于16。但是让我重新检查计算。实际上ab应该等于8。现在我们有a加b等于9，ab等于8。这意味着a和b是方程t的平方减9t加8等于0的两个根。解这个方程得到t等于1或t等于8。因此a等于1，b等于8，或者a等于8，b等于1。无论哪种情况，三角形的面积都是二分之一乘以a乘以b，等于二分之一乘以8等于4平方厘米。
现在我们来分析第20题的条件概率问题。题目是：投掷两枚标准骰子，已知至少有一个骰子投出了3，那么两枚骰子都投出3的概率是多少？这是一个典型的条件概率问题。我们用条件概率公式：P(A|B)等于P(A交B)除以P(B)。设事件A为两枚骰子都是3，事件B为至少有一个骰子是3。在6乘6等于36种总结果中，至少有一个3的情况有11种：第一个骰子是3有6种情况，第二个骰子是3有6种情况，但(3,3)被重复计算了，所以是6加6减1等于11种。而两个都是3的情况只有1种，就是(3,3)。因此条件概率等于1除以11。