这题的答案是什么？---**Question 8** **Question Stem:** Given the function `f(x) = sin(ωx + φ)` where `ω > 0` and `-π < φ < π`. The function `f(x)` is strictly increasing on the interval `[-5π/12, π/12]`. Also, `x = π/12` is an axis of symmetry for `f(x)`. Furthermore, `(π/3, 0)` is a center of symmetry for `f(x)`. Find the minimum value of `f(x)` when `x ∈ [0, π/2]`. **Options:** A. `-√3 / 2` B. `-1 / 2` C. `1` D. `0`

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我们来分析这道关于正弦函数的题目。给定函数f(x) = sin(ωx + φ)，其中ω大于0，φ在负π到π之间。题目给出了三个重要条件：第一，函数在区间[-5π/12, π/12]上严格递增；第二，x = π/12是函数的对称轴；第三，点(π/3, 0)是函数的对称中心。我们的目标是求函数在区间[0, π/2]上的最小值。 现在我们分析对称轴条件。正弦函数的对称轴具有特殊性质：在对称轴处，函数值必须达到最大值1或最小值负1。由于x等于π/12是函数的对称轴，所以f(π/12)等于正负1。将这个条件代入原函数，得到sin(ω乘以π/12加φ)等于正负1。这意味着ω乘以π/12加φ必须等于π/2加kπ，其中k是任意整数。这个关系式为我们确定参数ω和φ提供了第一个重要约束条件。 接下来分析对称中心条件。正弦函数的对称中心有一个重要性质：在对称中心的横坐标处，函数值必须为0。由于点(π/3, 0)是函数的对称中心，所以f(π/3)等于0。将这个条件代入原函数，得到sin(ω乘以π/3加φ)等于0。这意味着ω乘以π/3加φ必须等于nπ，其中n是任意整数。现在我们有了两个重要的约束条件：第一个来自对称轴，第二个来自对称中心。通过联立这两个方程，我们就能求解出参数ω和φ的具体值。 我们来解答这道关于三角函数的综合题。已知函数f(x)等于sin(ωx加φ)，其中ω大于0，φ在负π到π之间。题目给出了三个重要条件：函数在区间负5π/12到π/12上严格单调递增，x等于π/12是函数的对称轴，以及点(π/3, 0)是函数的对称中心。我们需要根据这些条件求出参数ω和φ，然后确定函数在0到π/2区间上的最小值。 让我们逐一分析这些条件。第一个条件告诉我们函数在给定区间上严格单调递增，这意味着导数在该区间上恒为正。第二个条件说x等于π/12是对称轴，这意味着在这一点函数取得极值，所以ω乘以π/12加φ等于π/2加kπ。第三个条件说(π/3, 0)是对称中心，这意味着函数在x等于π/3处的值为0，所以ω乘以π/3加φ等于nπ。 现在分析单调性条件。正弦函数的单调递增区间是从负π/2加2mπ到π/2加2mπ。给定区间的长度恰好是π/2，这正好是一个完整的单调递增区间的长度。由于x等于π/12是对称轴，也就是函数的极大值点，结合单调性条件，我们可以确定这个区间恰好是一个完整的单调递增区间，且π/12是该区间的右端点。 现在我们通过联立方程组来求解参数。我们有两个方程：第一个来自对称轴条件，第二个来自对称中心条件。使用消元法，用第二个方程减去第一个方程，得到ω乘以π/4等于(n减k)π减π/2。化简后得到ω等于4倍的(n减k)减2。由于ω必须大于0，所以n减k必须至少为1。这样我们得到了几个可能的ω值：当n减k等于1时，ω等于2；当n减k等于2时，ω等于6。 经过验证，当ω等于2时，φ等于π/3，函数形式为f(x)等于sin(2x加π/3)。在区间[0, π/2]上，相位2x加π/3的范围是从π/3到4π/3。通过分析函数在这个区间的行为，我们发现最小值出现在x等于π/2处，此时函数值为sin(4π/3)，等于负根号3除以2。因此答案是A。 现在验证单调性条件并确定最终答案。当ω等于2时，通过第一个条件可以求出φ等于π/6，所以函数为f(x)等于sin(2x加π/6)。验证单调性：在给定区间[-5π/12, π/12]上，相位2x加π/6的范围恰好是[-π/2, π/2]，这正是正弦函数的一个完整单调递增区间，满足条件。接下来求最小值：在目标区间[0, π/2]上，相位范围是[π/6, 7π/6]。通过分析可知最小值出现在x等于π/2处，此时f(π/2)等于sin(7π/6)等于负1/2。因此答案是B。