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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。这里a和b是直角边，c是斜边，也就是直角所对的最长边。这个定理以古希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名，但实际上早在古巴比伦和中国就有相关记录。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。首先构造一个边长为a加b的大正方形。在这个大正方形内部，我们可以放置四个全等的直角三角形，每个三角形的两条直角边分别为a和b。这样安排后，中心会形成一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个三角形的面积加上中心小正方形的面积。每个三角形的面积是二分之一ab，所以四个三角形的总面积是2ab。因此我们得到等式：a加b的平方等于2ab加c的平方。展开左边得到a平方加2ab加b平方等于2ab加c平方。消去两边的2ab，就得到了勾股定理：a平方加b平方等于c平方。
现在让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。第一个经典例子是3-4-5直角三角形。我们计算3的平方加4的平方，等于9加16，结果是25。而5的平方也等于25，所以3的平方加4的平方确实等于5的平方，验证了勾股定理。第二个例子是5-12-13直角三角形。计算5的平方加12的平方，等于25加144，结果是169。而13的平方也等于169，所以5的平方加12的平方等于13的平方，再次验证了勾股定理。这些被称为勾股数组，是满足勾股定理的整数组合。
勾股定理在实际生活中有很多重要应用。在建筑工程中，工人们用勾股定理检验墙角是否垂直。他们在墙角测量3米和4米的距离，如果对角线正好是5米，说明墙角是直角。在导航定位中，如果我们向东走8公里，再向北走6公里，那么起点到终点的直线距离就是10公里，这也是通过勾股定理计算得出的。在日常生活中的梯子问题也很常见：一个5米长的梯子靠在墙上，如果梯子底端距离墙3米，那么梯子顶端的高度就是4米。这些都是勾股定理的实际应用。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形就是直角三角形。让我们用一个具体例子来验证。已知三角形的三边长分别是7、24、25。我们计算7的平方加24的平方，等于49加576，结果是625。而25的平方也等于625。因为7²+24²=25²，所以根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。逆定理还可以用来判断三角形的类型：当a²+b²等于c²时是直角三角形，当a²+b²大于c²时是锐角三角形，当a²+b²小于c²时是钝角三角形。这为我们提供了一个判断三角形性质的有效方法。