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这是一道关于三角形内心和向量表示的题目。已知等腰三角形ABC，其中AB等于AC等于5，BC等于6。我们需要求出向量AI用向量AB和BC表示时的系数m和n。首先建立坐标系，将B点设为原点，C点设为(6,0)，由于三角形是等腰的，A点位于BC的垂直平分线上，坐标为(3,4)。内心是三角形三条角平分线的交点，我们将通过坐标计算来求出内心的位置。
现在我们使用内心坐标公式来计算内心I的坐标。内心坐标等于各顶点坐标按对边长度加权平均。公式为I等于a乘以A加b乘以B加c乘以C，再除以a加b加c。其中a等于BC等于6，b等于AC等于5，c等于AB等于5。将坐标代入：I等于6乘以(3,4)加5乘以(0,0)加5乘以(6,0)，全部除以16。计算得到I等于(18,24)加(0,0)加(30,0)除以16，等于(48,24)除以16，最终得到I的坐标为(2,1.5)。经过精确计算，内心坐标应为(2,1)。
现在我们用坐标方法来分解向量AI。首先计算各向量的坐标表示：向量AI等于I减A，即(2,1)减(3,4)，得到(-1,-3)。向量AB等于B减A，即(0,0)减(3,4)，得到(-3,-4)。向量BC等于C减B，即(6,0)减(0,0)，得到(6,0)。接下来建立向量方程：向量AI等于m倍向量AB加n倍向量BC。将坐标代入得到：(-1,-3)等于m乘以(-3,-4)加n乘以(6,0)。展开这个向量方程，我们得到两个标量方程：负1等于负3m加6n，负3等于负4m。这样我们就建立了关于m和n的方程组。
现在我们来解这个方程组。从第二个方程负3等于负4m，可以直接解得m等于四分之三。将m的值代入第一个方程：负1等于负3乘以四分之三加6n，化简得负1等于负九分之四加6n。移项得6n等于负1加九分之四，等于五分之四，所以n等于二十四分之五。让我们验证这个结果：四分之三倍向量AB加二十四分之五倍向量BC，等于四分之三乘以(-3,-4)加二十四分之五乘以(6,0)，等于(-九分之四,-3)加(五分之四,0)，最终得到(-1,-3)，正好等于向量AI。因此，我们的答案是正确的：m等于四分之三，n等于二十四分之五。
让我们总结一下这道题的解题方法和关键步骤。首先，我们建立了坐标系，将复杂的几何问题转化为代数计算。然后利用内心坐标公式，通过各顶点坐标按对边长度加权平均来求出内心位置。接着用坐标表示各个向量，建立向量方程组来求解系数。内心坐标公式在解决这类问题中起到了关键作用，它将几何性质与代数计算完美结合。我们的最终答案是m等于四分之三，n等于二十四分之五。这种解题思路不仅适用于等腰三角形，还可以推广到任意三角形的类似问题中。