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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是a²+b²=c²。最著名的例子是3-4-5直角三角形，3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。我们可以通过在每条边上构造正方形来直观地理解这个关系。
赵爽弦图是中国古代数学家赵爽提出的勾股定理证明方法。我们可以用两种方式来证明。第一种证明：构造边长为c的大正方形，内部有四个全等的直角三角形和一个边长为b减a的小正方形。大正方形面积等于c的平方，四个三角形面积为2ab，小正方形面积为b减a的平方。通过面积相等关系，我们得到c²=a²+b²。第二种证明：构造边长为a加b的大正方形，内部同样有四个三角形和边长为c的小正方形，同样可以证明勾股定理。
余弦定理是勾股定理在一般三角形中的推广。对于任意三角形，边c的平方等于边a的平方加边b的平方，再减去2ab乘以角C的余弦值。当角C等于90度时，余弦值为0，余弦定理就退化为勾股定理。我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。设向量c等于向量a减去向量b，两边取模长的平方，展开后得到余弦定理的表达式。让我们看看当角度变化时三角形的形状如何改变。
现在我们通过三道应用题来巩固勾股定理和余弦定理的应用。第一题是基础题：已知直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边长度。根据勾股定理，c²等于3²加4²等于9加16等于25，所以c等于5。第二题是进阶题：三角形三边长分别为5、7、8，求最大角的度数。最大角对应最长边8，使用余弦定理，余弦C等于5²加7²减8²除以2乘5乘7，计算得到余弦C等于七分之一，所以角C约等于81.8度。第三题是空间几何题：长方体的长宽高分别为3、4、5，求体对角线长度。在三维空间中，体对角线长度的平方等于长宽高的平方和，即d²等于3²加4²加5²等于50，所以d等于5倍根号2，约等于7.07。
圆周率π是数学中最重要的常数之一，人类对它的探索历经千年。公元263年，中国数学家刘徽提出了著名的割圆术，通过不断增加正多边形的边数来逼近圆的周长，从而计算π值。他从正六边形开始，逐步增加到正九十六边形，得到了相当精确的π值。到了20世纪，数学家们发明了蒙特卡洛方法，这是一种基于随机抽样的统计方法。我们在单位圆内随机投掷点，统计落在圆内和圆外的点数比例，就能估算出π值。这种方法的原理是圆面积与正方形面积的比值等于π除以4。从古代巴比伦人的π约等于3，到阿基米德精确计算出π的范围，再到现代计算机算出万亿位小数，人类对π的认识不断深入。