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函数的值域是指函数所有可能输出值的集合。对于函数y等于x的平方，当定义域为全体实数时，由于x的平方总是非负的，所以值域为从0到正无穷。但如果我们将定义域限制在负1到2的区间内，那么函数的最小值仍然是0，而最大值变成了4，因此值域变为从0到4的闭区间。这个例子说明了定义域的改变会直接影响函数的值域。
函数的最大值和最小值是函数值中的特殊元素。最大值是指在定义域内，函数能够达到的最大的函数值；最小值是指函数能够达到的最小的函数值。从图像上看，最大值对应函数图像的最高点，最小值对应最低点。这些最值点确定了函数值域的边界。当函数既有最大值又有最小值时，函数的值域就是从最小值到最大值的区间。最值与值域有着密切的联系：最值是值域的边界元素，它们共同描述了函数的取值范围。
最值与值域有着密切的内在联系。最值是值域的边界元素，最大值确定了值域的上界，最小值确定了值域的下界。当函数既有最大值又有最小值时，函数的值域就是从最小值到最大值的闭区间。让我们通过几个例子来观察这种关系。首先看二次函数y等于x平方减1，它有最小值负1，但没有最大值，所以值域是从负1到正无穷。接下来看正弦函数y等于sin x加1，它的最小值是0，最大值是2，所以值域是从0到2的闭区间。最后看开口向下的抛物线，它有最大值2和最小值，值域由这两个边界值完全确定。
有界函数是指在闭区间上连续的函数，根据最值存在定理，这类函数必定存在最大值和最小值。这些最值完全确定了函数的值域边界。以正弦函数f(x)等于sin x在闭区间0到2π上为例，我们可以看到函数在x等于π/2处取得最大值1，在x等于3π/2处取得最小值负1。由于函数在闭区间上连续，它能取遍从最小值到最大值之间的所有值，因此函数的值域就是从负1到1的闭区间。这个例子完美地展示了有界函数中最值如何完全确定值域的边界。
无界函数与有界函数形成鲜明对比。无界函数通常定义在开区间上，可能不存在最大值或最小值，其值域可能无上界或无下界。以函数f(x)等于1/x在定义域(0,+∞)上为例，当x趋近于0的正方向时，函数值趋向正无穷，因此函数没有最大值；当x趋向正无穷时，函数值趋近于0的正方向，因此函数没有最小值。虽然函数没有最值，但我们仍然可以确定其值域为(0,+∞)。这说明最值的缺失会影响值域的表示方式，无界函数的值域通常用开区间或半开区间来表示。