求解线段最值问题？---**Question Stem:** 如图，正方形 ABCD 的边长为 2. 点 E, F 在 BC 和 CD 上，∠EAF=45°，则 EF 的最小值是____. **Translation of Question Stem:** As shown in the figure, the side length of square ABCD is 2. Points E, F are on BC and CD respectively, ∠EAF=45°, then what is the minimum value of EF? **Chart/Diagram Description:** * **Type:** Geometric figure. * **Main Elements:** * A square named ABCD. The vertices are labeled counter-clockwise: A (top-left), B (bottom-left), C (bottom-right), D (top-right). * A point E is located on the side BC. * A point F is located on the side CD. * Three line segments connect point A to E, A to F, and E to F, forming a triangle AEF inside the square.

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我们来分析这个线段最值问题。题目给出正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，点F在边CD上，且角EAF等于45度，要求EF的最小值。首先建立坐标系，设A为原点上方，坐标为(0,2)，B为(0,0)，C为(2,0)，D为(2,2)。点E在BC边上移动，点F在CD边上移动，但需要满足角EAF等于45度的约束条件。 现在我们对问题进行参数化表示。设点E的坐标为(t,0)，其中参数t在0到2之间变化，表示E点在BC边上的位置。设点F的坐标为(2,s)，其中参数s在0到2之间变化，表示F点在CD边上的位置。从A点到E点的向量AE等于(t,-2)，从A点到F点的向量AF等于(2,s-2)。利用角EAF等于45度这个约束条件，我们可以建立参数t和s之间的关系。 现在我们详细分析角度约束条件。利用向量夹角公式，余弦EAF等于向量AE与向量AF的数量积除以它们模长的乘积。首先计算数量积：AE点乘AF等于t乘以2加上负2乘以s减2，化简得到2t减2s加4。然后计算向量的模长：AE的模长等于根号下t平方加4，AF的模长等于根号下4加上s减2的平方。由于角EAF等于45度，所以余弦45度等于根号2除以2。将这些代入夹角公式，得到约束方程。 现在我们建立距离函数来求解最值问题。我们的目标是求EF的最小值。根据E点坐标(t,0)和F点坐标(2,s)，EF的距离平方等于(2-t)的平方加上s的平方。利用前面得到的角度约束条件，我们可以将参数s表示为t的函数，从而将距离函数转化为关于单一变量t的函数。这样就把几何最值问题转化为了函数优化问题。 今天我们来解决一个线段最值问题。给定正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，点F在边CD上，且角EAF等于45度，求线段EF的最小值。这类问题需要运用几何变换的巧妙方法来解决。 首先建立坐标系进行分析。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A点坐标为(0,2)，B为(0,0)，C为(2,0)，D为(2,2)。设E点坐标为(t,0)，F点坐标为(2,s)。利用向量夹角公式，由角EAF等于45度的条件，可以得到t和s之间的约束关系。 直接用坐标方法计算会遇到很大困难。约束条件是一个含有根号的复杂非线性方程，而EF的距离公式也比较复杂。在这种约束条件下直接求最值非常困难。我们需要寻找更巧妙的几何变换方法来解决这个问题。 解决这个问题的巧妙思路是使用旋转变换。注意到角EAF等于45度这个特殊角度，我们可以将三角形AEF绕点A逆时针旋转45度。旋转变换有一个重要性质：它保持距离不变，所以EF的长度等于旋转后E'F'的长度。通过寻找最短路径E'F'，我们就能找到EF的最小值。 现在来具体求解。将三角形AEF绕点A逆时针旋转45度后，得到新的三角形AE'F'。其中F'点恰好落在AB的延长线上。由于旋转变换保持距离不变，所以EF的长度等于E'F'的长度。当E、F'、F三点共线时，E'F'达到最小值。通过几何计算，最终得到EF的最小值为2倍根号2减2。