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平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成的，水平的叫x轴，竖直的叫y轴，它们的交点叫原点O。坐标系被分为四个象限。平面上任意一点都可以用一对有序数对来表示，写作括号x逗号y的形式，其中x是横坐标，y是纵坐标。比如点A的坐标是2逗号3，表示从原点向右移动2个单位，再向上移动3个单位。点B的坐标是负1逗号4，点C的坐标是0逗号负2。通过坐标，我们可以准确地确定平面上任意点的位置。
两点间距离公式是坐标几何中的重要工具。对于平面上任意两点A和B，它们之间的距离可以用公式d等于根号下x2减x1的平方加上y2减y1的平方来计算。让我们通过一个具体例子来理解这个公式。已知点A的坐标是1逗号2，点B的坐标是4逗号6，我们要计算它们之间的距离。首先构建一个直角三角形，底边长度是4减1等于3，高度是6减2等于4。根据勾股定理，斜边长度就是两点间的距离。代入公式计算：d等于根号下3的平方加4的平方，等于根号下9加16，等于根号25，最终结果是5。
线段的中点坐标可以通过中点坐标公式来计算。对于线段AB，如果A点坐标是x1逗号y1，B点坐标是x2逗号y2，那么中点M的坐标就是x1加x2除以2逗号y1加y2除以2。让我们通过具体例题来验证这个公式。已知A点坐标是负2逗号1，B点坐标是4逗号5，求线段AB的中点M的坐标。根据中点公式，中点的横坐标等于负2加4除以2等于2除以2等于1。中点的纵坐标等于1加5除以2等于6除以2等于3。所以中点M的坐标是1逗号3。我们可以看到，中点M确实位于线段AB的正中间位置。
现在我们通过一个综合例题来展示坐标方法的实际应用。已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A括号1逗号1，B括号4逗号1，C括号4逗号4。我们要计算这个三角形的周长并判断它的形状。首先计算各边长度。AB的长度等于根号下4减1的平方加1减1的平方，等于根号9，等于3。BC的长度等于根号下4减4的平方加4减1的平方，等于根号9，等于3。AC的长度等于根号下4减1的平方加4减1的平方，等于根号18，等于3倍根号2。所以三角形的周长是6加3倍根号2。接下来判断三角形形状。我们发现AB的平方加BC的平方等于9加9等于18，而AC的平方也等于18。根据勾股定理的逆定理，这是一个直角三角形，直角在B点。
通过前面几个场景的学习，我们系统掌握了坐标方法的基本应用。坐标方法的核心包括三个方面：首先是用有序数对表示点的位置，其次是利用距离公式计算两点间距离，最后是运用中点公式求线段中点坐标。这些方法在实际中有广泛应用，比如几何图形性质的判断、图形周长和面积的计算、最短路径问题的求解，以及图形对称性的分析。坐标方法具有计算精确、方法统一、适用范围广等优势，为我们学习高中解析几何奠定了坚实基础。坐标方法是数形结合思想的重要体现，它将抽象的几何问题转化为具体的代数计算，是我们解决几何问题的有力工具。