如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, 3)$，顶点为$D$。直线$AC$与抛物线的另一个交点为$A$（已给定），点$P$是抛物线上的一个动点（不与点$A$、$B$重合），过点$P$作$PE \perp x$轴，垂足为$E$，$PE$交直线$AC$于点$F$。 （1）求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标； （2）设点$P$的横坐标为$t$，用含$t$的代数式表示线段$PF$的长度，并求出$PF$的最大值； （3）在点$P$的运动过程中，是否存在点$P$使得$\triangle PAB$是等腰三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

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根据题目条件，抛物线经过三个已知点：A负一零、B三零、C零三。我们利用这三个点来确定抛物线的解析式。将三个点的坐标代入抛物线的一般式，得到关于a、b、c的方程组。通过求解这个方程组，我们得到a等于负一，b等于二，c等于三。因此抛物线的解析式为y等于负x平方加2x加3。利用顶点坐标公式，可以计算出顶点D的坐标为一四。 现在我们来建立直线AC的方程。通过点A负一零和点C零三，计算斜率k等于负三，所以直线AC的解析式为y等于负3x加3。设动点P的横坐标为t，则P的坐标为t，负t平方加2t加3。过点P作垂直于x轴的直线PE，垂足E的坐标为t零，该直线与AC的交点F的坐标为t，负3t加3。因此线段PF的长度为P和F纵坐标的差的绝对值，即t平方加5t的绝对值。 现在我们来分析PF长度的表达式。PF的长度等于t平方加5t的绝对值。由于点P不能与点A、B重合，所以t不等于负一且t不等于三。接下来分析t平方加5t的符号。将其因式分解得到t乘以t加五。当t在负五到零之间时，表达式为负；当t在负无穷到负五或零到正无穷时，表达式为正。通过配方法，t平方加5t等于t加五分之二的平方减去二十五分之四。因此当t等于负五分之二时，PF取得最大值二十五分之四。 现在分析三角形PAB成为等腰三角形的条件。设P的坐标为t，负t平方加2t加3。由于AB等于4为定值，我们需要分三种情况讨论。情况一：PA等于PB，此时点P在AB的垂直平分线x等于1上，代入抛物线方程得到P1坐标为一四。情况二：PA等于AB等于4，建立距离方程求解，得到两个解P2和P3。情况三：PB等于AB等于4，同样建立距离方程，得到两个解P4和P5。经过计算和验证，共存在5个满足条件的点P，使得三角形PAB是等腰三角形。 让我们总结一下这道题的完整解答。第一问，通过三个已知点确定抛物线的解析式为y等于负x平方加2x加3，顶点D的坐标为一四。第二问，建立了PF长度的表达式为t平方加5t的绝对值，通过配方法求得PF的最大值为二十五分之四，当t等于负五分之二时取得。第三问，通过分类讨论找到了5个使三角形PAB成为等腰三角形的点P。这道题综合考查了二次函数的性质、几何图形的分析和分类讨论的数学思想，是一道很好的综合性题目。