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边际技术替代率是生产理论中的重要概念。它表示在保持产量不变的前提下，增加一单位劳动投入所能替代的资本数量。数学上表示为负的资本变化量除以劳动变化量。例如，当劳动从2单位增加到3单位，而资本从8单位减少到6单位时，边际技术替代率等于2，意味着每增加1单位劳动可以替代2单位资本。
等产量曲线展现了边际技术替代率递减的特征。典型的等产量曲线向原点凸出，这种形状直接反映了边际技术替代率沿曲线递减的性质。曲线上任意一点的切线斜率的绝对值就是该点的边际技术替代率。我们可以观察到，沿着曲线从左上方向右下方移动时，切线斜率的绝对值逐渐减小，这说明边际技术替代率确实在递减。
现在我们从数学角度严格证明边际技术替代率递减规律。首先，对生产函数进行全微分，在产量不变的条件下，全微分等于零。接着引入边际产量的定义，将全微分表达式重写。通过移项整理，我们得到边际技术替代率等于劳动边际产量除以资本边际产量。最后，根据边际产量递减规律，随着劳动投入增加，劳动边际产量递减而资本边际产量递增，因此它们的比值必然递减，从而证明了边际技术替代率递减规律。
从经济学角度来理解边际技术替代率递减规律，我们可以用工厂生产的例子。随着工人数量的增加，每增加一个工人能够替代的机器数量会越来越少。这主要有三个原因：首先是要素互补性，工人和机器需要合理的配比才能实现高效生产；其次是专业化程度的限制，当工人过多时会出现拥挤效应，导致生产效率下降；最后是技术约束，某些工序必须依赖特定的设备，无法完全用人工替代。这一规律深刻反映了生产要素配置的基本经济规律。
通过一个具体的数值案例来验证边际技术替代率递减规律。假设某制造企业的生产函数为Q等于100。我们选择等产量曲线上的四个点进行分析。从A点到B点，劳动增加3单位，资本减少30单位，边际技术替代率为10。从B点到C点，边际技术替代率降为5。从C点到D点，进一步降为2.5。这清楚地验证了边际技术替代率递减规律。企业可以根据这一规律的变化趋势，合理配置生产要素，实现最优的生产决策。