已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，且对任意$n \in \mathbb{N}^*$，有$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{\sqrt{1 + a_n^2}}$。 （1）求$a_2$，$a_3$的值，并证明数列$\left\{\dfrac{1}{a_n^2}\right\}$是等差数列； （2）求数列$\{a_n\}$的通项公式； （3）设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，证明：$S_n < 2\sqrt{n} - 1$。

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我们来看这个递推数列问题。已知数列a_n满足a_1等于1，递推关系为a_{n+1}等于a_n除以根号下1加a_n的平方。让我们计算前几项的值。首先计算a_2，将a_1等于1代入递推公式，得到a_2等于1除以根号2。接下来计算a_3，将a_2的值代入，经过化简得到a_3等于1除以根号3。观察可以发现，数列呈现递减的趋势。 现在我们来探索数列1除以a_n平方的规律性。首先计算前几项的值：1除以a_1平方等于1，1除以a_2平方等于2，1除以a_3平方等于3。观察发现1除以a_n平方可能等于n，即数列{1/aₙ²}是等差数列。让我们严格证明这一点。根据递推关系，1除以a_{n+1}平方等于1除以a_n除以根号下1加a_n平方的平方，化简得到1加a_n平方除以a_n平方，进一步得到1除以a_n平方加1。这证明了数列{1/aₙ²}是首项为1，公差为1的等差数列。 现在我们利用等差数列的性质来推导原数列的通项公式。由于数列{1/aₙ²}是首项为1，公差为1的等差数列，所以1除以aₙ平方等于1加上n减1乘以1，即等于n。因此aₙ的平方等于1除以n，所以aₙ等于1除以根号n。让我们验证这个公式的正确性。首先验证初始条件：a₁等于1除以根号1等于1，满足条件。接下来验证递推关系：根据公式，a_{n+1}等于1除以根号n加1。而根据递推关系，aₙ除以根号下1加aₙ平方，将aₙ等于1除以根号n代入，经过化简也得到1除以根号n加1。因此递推关系成立，通项公式正确。 现在我们准备证明第三问的不等式。根据通项公式，前n项和Sₙ等于从k等于1到n的1除以根号k的求和。我们需要证明Sₙ小于2倍根号n减1。为了证明这个不等式，我们采用积分估计法。这个方法利用函数f(x)等于1除以根号x在区间[1,n]上单调递减的性质。首先计算积分，1到n的1除以根号x的积分等于x的负二分之一次方的积分，结果是2倍根号x在1到n上的定积分，等于2倍根号n减2。通过比较和式与积分的关系，我们可以建立所需的不等式。 现在我们完成第三问的严格证明。由于函数f(x)等于1除以根号x在区间[1,n]上单调递减，根据积分估计的原理，从k等于2到n的1除以根号k的求和小于从1到n的1除以根号x的积分。我们已经计算出这个积分等于2倍根号n减2，所以从k等于2到n的求和小于2倍根号n减2。而前n项和Sₙ等于1加上从k等于2到n的求和，因此Sₙ小于1加上2倍根号n减2，即Sₙ小于2倍根号n减1。这样我们就完成了不等式的证明。通过几何直观可以看出，矩形的面积总是小于曲线下的面积，这正是我们证明的核心思想。