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我们来理解这个概率问题。口袋中有10个小球，分别标记0到9。我们进行n次有放回的随机取球，记录得到的标号序列为a1到an。集合An包含所有满足条件的n位数：首先，所有数字ai必须两两不同；其次，任意两个数字的和都不能等于9。我们需要找到使集合An元素个数φn达到最大值的情况。
现在我们深入分析约束条件。条件要求任意两个数字ai和aj的和不能等于9。让我们列出所有和为9的数字对：0和9，1和8，2和7，3和6，4和5。这意味着这些数字对不能同时出现在我们选择的序列中。因此，我们可以将10个数字分为5个互斥组，每组包含一对和为9的数字。由于互斥性，每组最多只能选择1个数字。
基于前面的分析，我们现在确定最优选择策略。由于10个数字被分为5个互斥组，每组最多只能选择1个数字，因此我们最多可以选择5个数字。选择5个数字是最优的，因为这样可以构造出最多的满足条件的序列。具体的最优选择方案有很多种，比如选择每组中较小的数字得到集合{0,1,2,3,4}，或者选择较大的数字得到{5,6,7,8,9}，还可以混合选择如{0,1,2,6,5}等。
现在我们推导φn的计算公式。基于最优选择的5个数字，我们需要分两种情况讨论。当n小于等于5时，我们有足够的数字来构造序列，φn等于5乘以4乘以...乘以(5-n+1)，也就是5的阶乘除以(5-n)的阶乘。具体计算：φ1等于5，φ2等于20，φ3等于60，φ4和φ5都等于120。当n大于5时，由于只有5个可选数字而需要n个不同数字，这是不可能的，所以φn等于0。
最后我们确定φn的最大值。通过比较各个n值对应的φn：φ1等于5，φ2等于20，φ3等于60，φ4等于120，φ5也等于120，φ6等于0。可以看出φn的最大值为120，当n等于4或n等于5时达到。我们可以通过具体例子验证：当n等于4时，选择数字集合{0,1,2,3}，可以构造4的阶乘即24乘以5等于120个不同的4位数。因此，φn的最大值确实是120。