视频字幕
勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它表述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，用数学公式表示就是a²+b²=c²。这个定理在古代中国被称为'勾三股四弦五'，在古希腊被称为'毕达哥拉斯定理'。它不仅是数学理论的基石，更在实际生活中有着广泛的应用。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。我们构造一个边长为a+b的大正方形，在其内部放置四个相同的直角三角形，中心形成一个边长为c的小正方形。大正方形的面积可以用两种方法计算：一是(a+b)的平方，二是四个三角形面积加上中心小正方形面积，即4乘以二分之一ab再加c的平方。通过面积相等，我们得到(a+b)²等于2ab+c²，展开左边得到a²+2ab+b²等于2ab+c²，消去2ab项，最终得到a²+b²=c²，这就完成了勾股定理的几何证明。
现在让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的例子是3-4-5直角三角形。我们计算：3的平方加4的平方等于9加16等于25，而5的平方也等于25，所以3²+4²=5²成立。另一个经典例子是5-12-13直角三角形：5的平方加12的平方等于25加144等于169，13的平方也等于169，验证了5²+12²=13²。这些满足勾股定理的整数组合被称为勾股数或毕达哥拉斯三元组，在数学中有着重要意义。
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。在建筑工程中，工人们常用3-4-5的比例来检验墙角是否垂直，这是最实用的直角检验方法。在导航中，当我们知道东西方向距离x和南北方向距离y时，可以用勾股定理计算直线距离d等于根号下x²+y²。在日常生活中的梯子靠墙问题里，已知梯子长度L和墙的高度h，我们可以计算出梯子底部距离墙的距离x等于根号下L²-h²。这些应用充分体现了勾股定理的实用价值。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形一定是直角三角形。这个逆定理在实际中非常有用，可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。勾股定理还可以推广到一般三角形，这就是余弦定理：c²=a²+b²-2ab乘以cosC。当角C等于90度时，cosC等于0，余弦定理就退化为我们熟悉的勾股定理。这展现了数学定理之间的内在联系和统一性。