Fundamentos de Cálculo (Funciones: Repasaremos desde cero qué son el Dominio y el Recorrido. Tipos de Funciones: Veremos qué significa que una función sea Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

Bienvenidos al estudio de las funciones. Una función es una relación especial entre dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto, llamado dominio, se relaciona con exactamente un elemento del segundo conjunto, llamado codominio. Matemáticamente, escribimos una función como f de A hacia B. Esto significa que f es una regla que asigna a cada elemento del conjunto A exactamente un elemento del conjunto B. Veamos un ejemplo visual. Aquí tenemos el conjunto A con elementos 1, 2, 3 y 4, y el conjunto B con elementos a, b y c. Cada flecha representa la asignación de la función: el 1 va a la a, el 2 va a la b, el 3 también va a la a, y el 4 va a la c. Observen que cada elemento del conjunto A tiene exactamente una flecha que sale de él. Esto es fundamental: no puede haber elementos sin asignar, ni elementos con múltiples asignaciones. Esta es la característica que define a una función. Ahora que entendemos qué es una función, necesitamos conocer dos conceptos fundamentales: el dominio y el recorrido. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada posibles, mientras que el recorrido es el conjunto de todos los valores de salida que la función puede producir. El recorrido es un subconjunto del codominio. Mientras que el codominio es el conjunto de llegada completo, el recorrido son solo los valores que realmente se alcanzan. Veamos un ejemplo concreto con la función f de x igual a x al cuadrado. Primero creamos los ejes coordenados y graficamos la función. El dominio de esta función son todos los números reales, ya que podemos elevar al cuadrado cualquier número real. Lo representamos con esta línea verde en el eje x. El recorrido, sin embargo, son solo los números reales no negativos, desde cero hacia arriba, porque x al cuadrado nunca puede ser negativo. Lo mostramos con esta línea roja en el eje y. Estos puntos amarillos muestran algunos valores específicos de la función. Observen cómo todos los valores de y son no negativos, confirmando que el recorrido es el conjunto de números reales mayores o iguales a cero. Ahora estudiaremos las funciones inyectivas, también conocidas como funciones uno a uno. Una función es inyectiva cuando elementos diferentes del dominio siempre producen elementos diferentes en el recorrido. Formalmente, una función f es inyectiva si cuando f de x1 es igual a f de x2, entonces necesariamente x1 debe ser igual a x2. Esto significa que cada elemento del recorrido proviene de exactamente un elemento del dominio. Veamos un ejemplo visual. Aquí tenemos una función inyectiva donde cada elemento del conjunto A se mapea a un elemento diferente del conjunto B. Observen que ningún elemento de B recibe más de una flecha. Ahora veamos un contraejemplo. Esta función NO es inyectiva porque el elemento b del conjunto B recibe dos flechas: una del elemento 2 y otra del elemento 3. Esto viola la condición de inyectividad. Para funciones graficadas, existe la prueba de la línea horizontal. Una función es inyectiva si y solo si ninguna línea horizontal corta su gráfica más de una vez. Esta función lineal es inyectiva. Cuando trazamos cualquier línea horizontal, como esta línea roja, intersecta la gráfica en exactamente un punto, confirmando que la función es inyectiva. Ahora estudiaremos las funciones sobreyectivas, también llamadas funciones sobre. Una función es sobreyectiva cuando cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen en el dominio. Formalmente, una función f de A hacia B es sobreyectiva si para todo elemento y en B, existe al menos un elemento x en A tal que f de x es igual a y. Esto significa que el recorrido coincide exactamente con el codominio. Veamos un ejemplo de función sobreyectiva. Aquí cada elemento del conjunto B recibe al menos una flecha. El elemento a recibe dos flechas, b recibe dos flechas, y c recibe una flecha. Todos los elementos de B están cubiertos. Ahora veamos un contraejemplo. Esta función NO es sobreyectiva porque el elemento c del conjunto B no recibe ninguna flecha. Hay un elemento del codominio que no tiene preimagen. Para funciones graficadas, podemos analizar la sobreyectividad observando si todos los valores del codominio son alcanzados. Consideremos esta función cuadrática. Si el codominio son todos los números reales, esta función NO es sobreyectiva porque no alcanza valores negativos menores que menos uno. La línea naranja no intersecta la gráfica. Sin embargo, para valores positivos como esta línea roja, sí hay intersecciones.