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数学中的数可以按照不同的特征进行分类。从最基本的自然数开始，我们有一、二、三等计数用的数。扩展到整数后，包含了负数和零。有理数进一步包含了所有可以表示为分数的数。而实数则包含了有理数和无理数两大类。无理数是那些不能表示为分数形式的数，如根号二和圆周率π。这种层次结构帮助我们理解不同数的性质和关系。
有理数是数学中一个重要的概念。它的定义是：可以表示为两个整数之比p除以q的数，其中q不等于零。有理数包括所有的整数，比如5可以写成五分之五。也包括分数，如负三分之二。有理数还包括有限小数，如0.25等于四分之一。以及无限循环小数，如0.666...等于三分之二。通过分数形式，我们可以精确表示这些数的值。
无理数是另一类重要的实数。它们的定义是：不能表示为两个整数之比的实数。无理数的一个重要特征是，它们的小数表示是无限不循环的。最著名的无理数包括根号二，它约等于1.41421356，小数部分永远不会重复。圆周率π约等于3.14159265，也是无限不循环的。自然对数的底e约等于2.71828182。这些数无法用分数形式精确表示。通过反证法可以严格证明根号二确实不是有理数。
现在让我们系统地对比有理数和无理数的核心差别。首先是表示方法：有理数可以表示为两个整数的比值p除以q，而无理数无法用分数形式表示。其次是小数特征：有理数的小数表示要么是有限的，要么是无限循环的；而无理数的小数表示是无限不循环的。在密度性质方面，有理数是稠密的但可数的，意思是在任意两个实数之间都有有理数，但有理数的总数是可数无穷；无理数同样稠密，但是不可数的，数量比有理数多得多。典型的例子中，二分之一和0.25是有理数，而根号二和圆周率π是无理数。
现在让我们通过具体例题来学习如何判断一个数是有理数还是无理数。判断的方法包括：首先检查是否为整数，然后检查是否可以表示为分数，接着检查小数是否循环，还要检查是否为根式，最后检查是否包含π、e等特殊常数。例1：0.142857循环，这是循环小数，等于七分之一，所以是有理数。例2：根号9是完全平方数，等于3，可以表示为三分之三，所以是有理数。例3：根号7不是完全平方数，其小数展开是无限不循环的，所以是无理数。例4：π除以2，由于π是无理数，所以π除以2也是无理数。