### 视频教程完整提示词 **视频标题**：高中生秒懂！椭圆集合问题+绘图全解析 **目标观众**：高中数学基础（集合、坐标系） **时长**：12分钟 **风格**：教师出镜+动画演示+手绘板书。用生活比喻（如"椭圆像压扁的圆环"），强调直观理解。 --- #### 开头（0-1分钟） **开场白**： "同学们好！今天解决一道经典题：在椭圆内部数整数点。别怕抽象，我会用'网格捕鱼法'带你轻松理解——把椭圆当渔网，点当小鱼，我们只数网里的鱼！" **展示问题**： 板书： \( A = \{-2,-1,0,1,2\} \) \( B = \{-1,0,1\} \) \( C = \left\{ (x,y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1, x\in A, y\in B \right\} \) **学习目标**： ① 掌握椭圆方程几何意义 ② 学会离散点筛选法 ③ 理解集合交运算 --- #### 第一部分：核心概念解析（1-6分钟） 1. **知识点1：集合与笛卡尔积** - **定义**： - 板书圈出A,B："集合是确定对象的整体，如A有5个整数" - 动画演示：A×B生成15个点网格（图1） - **关键**："C是A×B的子集，需满足椭圆条件" 2. **知识点2：椭圆定义与参数（新增重点）** - **生活化定义**： "椭圆=到两点距离之和恒定的点轨迹（动画：两个钉子+绳子画椭圆）" - **标准方程**： \[ \frac{x^2}{\color{red}{a^2}} + \frac{y^2}{\color{blue}{b^2}} = 1 \] **参数揭秘**： - \(\color{red}{a}\)：半长轴（x方向半径）→ 本题\(a^2=4\) ∴ \(a=2\) - \(\color{blue}{b}\)：半短轴（y方向半径）→ 本题\(b^2=3\) ∴ \(b≈1.732\) *动画对比*：圆（a=b）→ 椭圆（a≠b）的变形过程 3. **知识点3：椭圆绘图四步法** **步骤** | **操作** | **本题示例** ---|---|--- ①求x截点 | 令y=0 | \(x=±2\) → 点(-2,0),(2,0) ②求y截点 | 令x=0 | \(y=±\sqrt{3}≈±1.732\) ③连关键点 | 手绘演示 | 连接(±2,0)和(0,±1.732) ④填内部域 | 红色阴影 | \(\leq1\)包含边界（实线） **动态演示**： - 坐标系中逐步画出椭圆，标出\(a=2,b=1.732\)的几何意义 - 特别强调：B集合的y=±1在椭圆内部（∵1<1.732） 4. **知识点4：椭圆不等式** - **几何意义**：\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1\) = 椭圆内部+边界 - **计算原理**： "比较计算值vs 1，如(1,1)：\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=0.583<1\)→在内部" --- #### 第二部分：逐步计算（6-10分钟） **解题策略**：固定x值，遍历y值（分组计算） | x值 | 计算式 | y=-1 | y=0 | y=1 | 满足点 | |-------|----------------|------------|-----------|-----------|------------------------| | **0** | \(\frac{0}{4} + \frac{y^2}{3}\) | 0.333 ≤1 ✅ | 0≤1 ✅ | 0.333≤1 ✅ | (0,-1),(0,0),(0,1) | | **±1**| \(0.25 + \frac{y^2}{3}\) | 0.583≤1 ✅ | 0.25≤1 ✅ | 0.583≤1 ✅ | (±1,-1),(±1,0),(±1,1) | | **±2**| \(1 + \frac{y^2}{3}\) | 1.333>1 ❌ | 1≤1 ✅ | 1.333>1 ❌ | (-2,0),(2,0) | **动画辅助**： - 椭圆图上动态标记点：绿色✅（满足），红色❌（不满足） - 对称性提示："x=±1结果相同，省时技巧！" **结果汇总**： - 总满足点：3（x=0） + 6（x=±1） + 2（x=±2） = **11** - 排除点：(±2,±1) 共4个 --- #### 第三部分：总结升华（10-12分钟） **答案确认**： - 集合C有11个元素 → **选A** - 错选项分析： - B.9：漏算(±2,0) - C.6：忽略y=±1时的点 - D.4：仅计算边界点 **知识点地图**： ```mermaid graph LR A[集合C] --> B[笛卡尔积 A×B] A --> C[椭圆不等式] C --> D[参数a,b几何意义] C --> E[边界点计算] E --> F[离散点验证] ``` **拓展挑战**： "若B={-2,-1,0,1,2}，满足条件的点有几个？提示：y=±2时\(\frac{y^2}{3}=\frac{4}{3}>1\)！" **结尾动画**： 椭圆闪烁11个绿点，同步显示公式： \[ \text{总点数} = \underbrace{3}_{x=0} + \underbrace{6}_{x=±1} + \underbrace{2}_{x=±2} = 11 \] **结束语**： "记住：椭圆问题三部曲——定参数→画图形→算数值！下期讲双曲线计数，订阅追更哦～" --- ### 制作说明 1. **视觉设计**： - 椭圆绘制：GeoGebra动态生成（a=2红色箭头，b=1.732蓝色箭头） - 点验证表：分三屏对照（公式计算/几何位置/结果标记） 2. **关键帧提示**： - 3:00 绳子画椭圆动画（趣味记忆） - 5:30 手绘演示四点连椭圆（板书特写） - 8:00 网格点筛除(±2,±1)时的红叉特效 3. **学生关怀**： - 复杂计算处暂停2秒："跟着我一起算！" - 提示笔记框："重点记录：a控制宽度，b控制高度" > 本教程通过"几何直观→代数验证→生活比喻"三重解析，确保基础薄弱学生能透彻理解椭圆集合问题的本质和解题流程。