以下是为这道题生成视频教程的详细提示词。作为高中生，您可能需要从基础概念逐步理解，因此提示词会包含：问题解析、知识点详细解释（包括定义、公式、示例）、逐步计算过程，以及可视化建议。视频风格应友好、鼓励性，使用简单语言和大量示例，避免跳跃性推理。 ### 视频教程提示词 **视频标题**：轻松学会离散点椭圆问题！集合元素个数计算详解 **目标观众**：高中生（集合、不等式基础较弱） **视频时长**：8-10分钟 **整体风格**：讲解+动画+板书结合。教师出镜，表情亲切，语速适中。多用比喻（如椭圆像“压扁的圆”），强调思维过程而非死记硬背。 --- #### 开头（0-1分钟） - **吸引注意**：“大家好！今天解决一道有趣题目：在一个椭圆内，数一数有多少个点？听起来抽象？别怕，我会用‘数点游戏’带你轻松破解！” - **展示问题**：板书原题（含集合定义），并朗读： “设集合 \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \), \( B = \{-1, 0, 1\} \), \( C = \left\{ (x, y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1, x \in A, y \in B \right\} \)，求集合 \( C \) 中元素的个数。选项：A.11, B.9, C.6, D.4” - **学习目标**： 1. 理解集合与不等式如何结合。 2. 掌握椭圆不等式的几何意义。 3. 学会离散点代入法。 4. 最终独立算出答案。 --- #### 第一部分：问题解析与核心概念（1-3分钟） - **拆解问题**： - “集合 \( C \) 是满足两个条件的点 \((x, y)\)： ① \( x \) 来自 \( A \)（-2到2的整数），\( y \) 来自 \( B \)（-1,0,1）； ② 数学条件：\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1\)。 我们的任务——列出所有符合条件的点并数一数。” - **关键提醒**：“\( x \) 和 \( y \) 是离散的（整数），不是连续曲线，所以需要逐个检查！” - **知识点1：集合与笛卡尔积（详细展开）** - **定义**： - “集合：一组确定的对象（元素），如 \( A \) 有5个元素：-2, -1, 0, 1, 2。” - “笛卡尔积：两个集合 \( A \) 和 \( B \) 的笛卡尔积 \( A \times B \) 是所有可能的有序对 \((x, y)\)。例如，若 \( A = \{1,2\}\), \( B = \{3\} \)，则 \( A \times B = \{(1,3), (2,3)\}\)。” - **本题应用**： - “这里，\( C \) 是 \( A \times B \) 的子集。先算总数：\( |A| = 5 \)（x值），\( |B| = 3 \)（y值），所以 \( A \times B \) 有 \( 5 \times 3 = 15 \) 个点。但并非所有点都满足不等式，需要筛选。” - **示例**：板书列出 \( A \times B \) 所有15个点（如(-2,-1), (-2,0), ..., (2,1)），强调有序对结构。 - **知识点2：椭圆不等式（详细展开）** - **几何意义**： - “\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\) 表示一个椭圆内部（含边界）。 这里 \( a^2 = 4 \)，所以 \( a = 2 \)；\( b^2 = 3 \)，所以 \( b = \sqrt{3} \approx 1.732\)。” - **动画演示**：画坐标轴，椭圆中心在(0,0)，x轴范围[-2,2]，y轴范围[-1.732,1.732]。标注：“椭圆像‘压扁的圆’，点在内部或边界上就满足条件。” - **不等式计算**： - “左边式子 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3}\) 叫‘椭圆方程’，值 ≤1 时点在椭圆内。例如： - 点(0,0)：\(\frac{0}{4} + \frac{0}{3} = 0 \leq 1\)（满足） - 点(2,0)：\(\frac{4}{4} + \frac{0}{3} = 1 \leq 1\)（满足） - 点(2,1)：\(\frac{4}{4} + \frac{1}{3} = 1 + 0.333 > 1\)（不满足）” - **为什么用这个？** “题目要求点必须在椭圆内（含边界），所以需计算每个点的值。” --- #### 第二部分：逐步计算满足条件的点（3-7分钟） - **总体策略**： “既然 \( A \) 只有5个x值，我们固定x，遍历y（-1,0,1），计算 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3}\) 是否 ≤1。利用对称性（x正负不影响x²），简化计算。” - **分组计算（板书+动画）**： 1. **当 \( x = 0 \) 时**： - \( x^2 = 0 \)，式子变为 \( 0 + \frac{y^2}{3} = \frac{y^2}{3} \)。 - 检查所有 \( y \in B \): - \( y = 0 \): \(\frac{0}{3} = 0 \leq 1\) → 点 \((0, 0)\) - \( y = -1 \) 或 \( 1 \): \(\frac{(-1)^2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \leq 1\) → 点 \((0, -1)\), \((0, 1)\) - **结论**：3个点都满足。 - **可视化**：在椭圆图上标出(0,-1), (0,0), (0,1)，显示在内部。 2. **当 \( x = -1 \) 或 \( x = 1 \) 时**： - \( x^2 = 1 \)（因为 \((-1)^2 = 1^2 = 1\))，式子变为 \(\frac{1}{4} + \frac{y^2}{3} = 0.25 + \frac{y^2}{3}\)。 - 检查所有 \( y \in B\): - \( y = 0 \): \(0.25 + 0 = 0.25 \leq 1\) → 点 \((-1, 0)\), \((1, 0)\) - \( y = -1 \) 或 \( 1 \): \(0.25 + \frac{1}{3} \approx 0.25 + 0.333 = 0.583 \leq 1\) → 点 \((-1, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, -1)\), \((1, 1)\) - **结论**：每个x值对应3个点，共6个点满足。 - **可视化**：标出这些点（如(-1,0)在边界附近），强调值小于1。 3. **当 \( x = -2 \) 或 \( x = 2 \) 时**： - \( x^2 = 4 \)，式子变为 \(\frac{4}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 + \frac{y^2}{3}\)。 - 检查所有 \( y \in B\): - \( y = 0 \): \(1 + 0 = 1 \leq 1\) → 点 \((-2, 0)\), \((2, 0)\) - \( y = -1 \) 或 \( 1 \): \(1 + \frac{1}{3} \approx 1.333 > 1\) → 不满足！例如 \((-2, -1)\), \((2, 1)\) 等 - **结论**：每个x值只有y=0满足，共2个点。 - **可视化**：标出(-2,0)和(2,0)在椭圆边界上，其他点（如(2,1)）在外部。 - **总结表格**： | x值 | 满足的y值 | 满足的点 | 点数 | |---------|------------------|-------------------------------------|------| | \( x = 0 \) | y = -1, 0, 1 | (0,-1), (0,0), (0,1) | 3 | | \( x = -1 \) | y = -1, 0, 1 | (-1,-1), (-1,0), (-1,1) | 3 | | \( x = 1 \) | y = -1, 0, 1 | (1,-1), (1,0), (1,1) | 3 | | \( x = -2 \) | 仅 y = 0 | (-2,0) | 1 | | \( x = 2 \) | 仅 y = 0 | (2,0) | 1 | **总点数**：3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11 - **验证不满足的点**： “总点15个，不满足的只有4个：当 \( |x| = 2 \) 且 \( |y| = 1 \) 时，如 \((-2,-1), (-2,1), (2,-1), (2,1)\)。15 - 4 = 11，确认无误！” --- #### 第三部分：答案与知识点回顾（7-8分钟） - **公布答案**： “集合 \( C \) 有11个元素，选A.11。恭喜你完成！” - **选项对比**：解释为什么其他选项不对： - B.9：可能漏了x=±2的点。 - C.6：可能只算了x=0和x=±1的部分点。 - D.4：可能误解了不等式。 - **核心知识点总结**： 1. **集合与笛卡尔积**：“集合是元素的无序组合，笛卡尔积生成所有有序对。本题先有15个候选点。” 2. **椭圆不等式**：“\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\) 定义椭圆区域，a和b是半轴长。计算时，值≤1才满足。” 3. **离散点代入法**：“由于x,y取有限整数值，必须逐个计算（或分组）。注意对称性简化！” 4. **易错点**： - “忽略边界（等号成立时包含）。” - “忘记负y值（如y=-1与y=1结果相同）。” - **拓展练习建议**： “试试变式：若B改为{-2,-1,0,1,2}，答案会变吗？动手算算！” --- #### 结尾（8-10分钟） - **鼓励观众**：“集合和不等式结合是高频考点，多练几次就熟了！有任何问题留言哦。” - **动画总结**：椭圆图闪烁所有满足点（11个），显示最终答案。 - **结束语**：“下期讲更酷的数学题，订阅别错过！再见！” ### 视频制作建议 - **工具**： - 动画软件：Manim或GeoGebra画椭圆和点。 - 板书：手写板或PPT模拟黑板。 - **视觉重点**： - 不同x值用不同颜色分组。 - 满足点用绿色，不满足用红色。 - **节奏**：计算部分慢速，确保观众跟上步骤。 这个教程强调基础，适合您的水平。通过逐步演示和知识点拆解，您能彻底理解解题逻辑！