正弦定理是三角形中一个重要的定理。它表述为：在任意三角形中，各边与其对角正弦值的比值相等，都等于外接圆直径。具体形式是 a 除以 sin A 等于 b 除以 sin B 等于 c 除以 sin C 等于 2R。这里 a、b、c 是三角形的三边，A、B、C 是对应的内角，R 是外接圆半径。这个定理揭示了三角形边长与角度之间的深刻关系。
现在我们通过几何方法推导正弦定理。首先构造三角形ABC的外接圆，圆心为O，半径为R。根据圆周角定理，圆周角等于圆心角的一半，所以角A对应的圆心角为2A。在直角三角形中，我们可以建立关系：a等于2R乘以sinA，因此a除以sinA等于2R。同样的方法可以得到b除以sinB等于2R，c除以sinC等于2R。这样就证明了三个比值都相等，都等于2R，这就是正弦定理的几何证明。
现在我们通过一个具体例题来演示正弦定理的应用。题目是：在三角形ABC中，已知a等于8，角A等于45度，角B等于60度，求边b。首先求角C，由于三角形内角和为180度，所以C等于180度减去A减去B，等于75度。然后应用正弦定理，a除以sinA等于b除以sinB，所以b等于a乘以sinB除以sinA。代入数值，b等于8乘以sin60度除以sin45度，等于8乘以根号3除以2，再除以根号2除以2，最终结果是4倍根号6。
现在我们看一个更复杂的例子。在三角形ABC中，已知a等于7，b等于5，角A等于80度，求角B的所有可能值。首先应用正弦定理，sinB等于b乘以sinA除以a，计算得到sinB约等于0.703。由于a大于b且sinB小于1，这种情况下存在两个解。第一个解是B1等于arcsin0.703约等于44.7度，这是锐角解。第二个解是B2等于180度减去44.7度等于135.3度，这是钝角解。右侧图形展示了这两种可能的三角形形状，说明在某些条件下，正弦定理可能产生两个有效解。
最后我们看正弦定理在实际问题中的应用。假设要测量河对岸两点A、B之间的距离，但无法直接到达。我们可以在河这边选择观测点C，测量C到A的距离为100米，并测得角ACB为60度，角CAB为45度。首先建立数学模型，将实际问题转化为三角形问题。然后求角ABC，等于180度减去60度减去45度，等于75度。接下来应用正弦定理，AB除以sinC等于AC除以sinB，所以AB等于AC乘以sinC除以sinB。代入数值计算，AB约等于89.7米。在实际测量中，还需要考虑测量误差和精度问题，以确保结果的可靠性。