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双曲线是平面几何中的重要曲线。它的几何定义是：平面内与两个定点F₁、F₂的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。这两个定点称为双曲线的焦点。当点P在双曲线上移动时，它到两个焦点的距离之差始终保持常数2a。这个定义揭示了双曲线的本质特征。
双曲线的形成需要满足特定条件。设两个焦点为F₁和F₂，距离差常数为2a。关键条件是a必须小于c，即焦点间距离的一半。当我们改变a的值时，双曲线的形状也会发生变化。a值越小，双曲线开口越大；a值越接近c，双曲线越接近直线。这个动态过程清楚地展示了参数a对双曲线形状的决定性作用。
现在我们从几何定义推导双曲线的标准方程。首先建立坐标系，将两个焦点F₁和F₂分别放在x轴上的负c和正c位置。设点P的坐标为(x,y)，根据双曲线定义，点P到两焦点距离之差的绝对值等于2a。通过距离公式和代数化简，最终得到双曲线的标准方程：x²/a² - y²/b² = 1，其中b² = c² - a²。参数a表示顶点到原点的距离，c表示焦点到原点的距离，它们之间满足c² = a² + b²的关系。
双曲线具有丰富的几何性质。首先是对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都对称。其次是渐近线，方程为y等于正负b/a乘以x，双曲线的两支无限接近但永不相交这些直线。离心率e等于c/a，且大于1，它描述了双曲线的开口程度。顶点位于(±a,0)，焦点位于(±c,0)。这些性质相互关联，共同决定了双曲线的完整特征。
通过一个具体例题来巩固双曲线的理解。已知焦点F₁(-5,0)和F₂(5,0)，双曲线过点P(3,4)，求标准方程。首先确定c等于5，然后计算点P到两焦点的距离：PF₁等于根号80，PF₂等于根号20。根据双曲线定义，2a等于距离差的绝对值，即根号80减根号20，得到a等于根号5。利用关系式b²等于c²减a²，得到b²等于20。最终得到双曲线的标准方程：x²/5减y²/20等于1。这个例题展示了从几何条件推导双曲线方程的完整过程。