解一下这道题，用简单易懂的动画形式---**Question Stem:** 求y= (sinx+1)/(cosx-2) 的值域 **Mathematical Formula:** y = (sin(x) + 1) / (cos(x) - 2) **Other Relevant Text:** The characters "求...的值域" (qiú... de zhíyù) mean "Find the range of...".

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我们来分析函数 y 等于 sin x 加 1 除以 cos x 减 2 的值域。首先观察函数的基本性质。分子是 sin x 加 1，由于 sin x 的范围是负1到1，所以分子的范围是0到2。分母是 cos x 减 2，由于 cos x 的范围是负1到1，所以分母的范围是负3到负1。注意分母永远不为零，因此函数在整个实数范围内都有定义。 现在我们引入参数化方法来求这个函数的值域。设 y 等于 sin x 加 1 除以 cos x 减 2。通过代数变换，我们得到 y 乘以括号 cos x 减 2 等于 sin x 加 1。展开后得到 y cos x 减 2y 等于 sin x 加 1，整理得 y cos x 减 sin x 等于 2y 加 1。接下来我们利用辅助角公式，将 y cos x 减 sin x 写成根号 y 平方加 1 乘以 cos 括号 x 加 φ 的形式，其中 tan φ 等于 1 除以 y。这样我们就建立了一个重要的等式关系。 现在我们详细应用辅助角公式。从上一步得到的关键等式 y cos x 减 sin x 等于 2y 加 1，利用辅助角公式可以写成根号 y 平方加 1 乘以 cos 括号 x 加 φ 等于 2y 加 1。由于余弦函数的值域是负1到1，我们得到约束条件：负根号 y 平方加 1 小于等于 2y 加 1 小于等于根号 y 平方加 1。这个双重不等式可以分解为两个单独的不等式。图中显示了这些约束条件的几何意义，绿色线表示 2y 加 1，红色线表示上下界限，黄色区域是允许的范围。 现在我们分别求解这两个不等式。对于第一个不等式 2y 加 1 大于等于负根号 y 平方加 1，移项后得到 2y 加 1 加根号 y 平方加 1 大于等于 0。由于根号 y 平方加 1 恒大于 0，这个不等式对所有 y 大于等于 0 都成立。对于第二个不等式 2y 加 1 小于等于根号 y 平方加 1，我们需要两边平方。展开后得到 4y 平方加 4y 加 1 小于等于 y 平方加 1，化简得 3y 平方加 4y 小于等于 0，即 y 乘以 3y 加 4 小于等于 0。这给出 y 在负三分之四到 0 之间。图中显示了两个解集在数轴上的表示和它们的交集。 现在我们综合前面的结果来确定最终的值域。第一个不等式的解集是 y 大于等于 0，第二个不等式的解集是负三分之四小于等于 y 小于等于 0。求这两个解集的交集，我们得到 y 等于 0。但是我们需要验证 y 等于 0 是否真的可以取到。当 y 等于 0 时，原方程变为 0 等于 sin x 加 1 除以 cos x 减 2，这意味着 sin x 加 1 等于 0，即 sin x 等于负 1。这在 x 等于二分之三π 加 2kπ 时成立，其中 k 是整数。因此 y 等于 0 确实可以取到。所以函数的值域是单点集 {0}，这说明无论 x 取什么值，函数值都恒等于 0。图中显示了函数图像与 y 等于 0 这条线重合，验证了我们的结果。