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今天我们来学习平方差公式。平方差公式是代数中的一个重要恒等式，它的标准形式是 a的平方减去b的平方等于a加b乘以a减b。让我们通过一个具体的数值例子来验证这个公式。取a等于5，b等于3，那么5的平方减去3的平方等于25减去9等于16。而用公式计算，5加3乘以5减3等于8乘以2也等于16。这证明了公式的正确性。
现在我们用几何方法来证明平方差公式。首先画一个边长为a的大正方形，它的面积是a的平方。然后在右下角减去一个边长为b的小正方形，面积为b的平方。剩余的面积就是a的平方减去b的平方。接下来，我们将剩余部分重新排列。上面的矩形宽为a，高为a减b。左下角的矩形宽为a减b，高为b。将这两部分拼接成一个新矩形，宽为a加b，高为a减b。这个矩形的面积正好是a加b乘以a减b。因此我们证明了a的平方减去b的平方等于a加b乘以a减b。
现在我们用代数方法严格证明平方差公式。从左边开始，我们要展开括号a加b乘以a减b。根据分配律，第一个括号中的每一项都要与第二个括号中的每一项相乘。a乘以a得到a的平方，a乘以负b得到负ab，b乘以a得到ba，b乘以负b得到负b的平方。整理后得到a的平方减ab加ba减b的平方。注意中间两项负ab和正ba，它们是相反数，相加等于零。因此最终结果是a的平方减b的平方。这样我们就从代数角度严格证明了平方差公式的正确性。
现在我们通过三个例题来练习平方差公式的应用。第一题，计算7的平方减3的平方。我们可以直接应用平方差公式，7的平方减3的平方等于7加3乘以7减3，等于10乘以4，结果是40。第二题，因式分解x的平方减16。首先识别这是平方差的形式，16等于4的平方，所以x的平方减16等于x的平方减4的平方，根据平方差公式等于x加4乘以x减4。第三题，计算2x加3y乘以2x减3y。这已经是平方差公式的右边形式，直接应用得到2x的平方减3y的平方，等于4x的平方减9y的平方。通过这些练习，我们可以熟练掌握平方差公式的基本应用。
现在我们学习平方差公式的高级应用技巧。第一个技巧是识别隐藏的平方差结构。比如4x的平方减9y的平方，我们要识别出这是2x的平方减3y的平方，然后应用公式得到2x加3y乘以2x减3y。第二个技巧是利用平方差简化计算。比如计算101的平方减99的平方，直接计算会很复杂，但用平方差公式，等于101加99乘以101减99，等于200乘以2，结果是400，计算变得非常简单。第三个技巧是连续应用平方差公式。比如x的四次方减16，首先识别为x的平方的平方减4的平方，得到x的平方加4乘以x的平方减4。注意x的平方减4还可以继续分解为x加2乘以x减2。掌握这些技巧的关键是快速识别平方差的结构形式。