视频字幕
今天我们学习一个新概念：特征值。对于平面上任意两点A和B，我们定义它们的特征值如下：设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，令m等于x₁加x₂，n等于y₁加y₂，那么点A与点B的特征值就是m减n的绝对值。让我们通过一个具体例子来理解这个定义。
对于图形M和图形N，如果点A是图形M上的任意一点，点B是图形N上的任意一点，当所有可能的点A与点B的特征值中存在最大值时，我们就把这个最大值称为图形M与图形N的特征值。这个定义将帮助我们解决更复杂的几何问题。
现在让我们用特征值的定义来解决具体问题。首先计算点A(3,2)与点B(2,-4)的特征值。根据定义，m等于3加2等于5，n等于2加负4等于负2，所以特征值等于5减负2的绝对值，即7。
接下来解决第二个问题。已知点C在y轴上，要使点A与点C的特征值为5。设点C的坐标为(0,y)，那么m等于0加3等于3，n等于y加2。根据特征值定义，3减去y加2的绝对值等于5，即1减y的绝对值等于5。
解这个绝对值方程，我们得到两种情况：1减y等于5或1减y等于负5。解得y等于负4或y等于6。因此点C的坐标为(0,-4)或(0,6)。我们可以在坐标系中看到这两个点都在y轴上。
现在我们分析动态线段问题。线段DE的初始位置是D(6,0)到E(4,0)，以每秒1个单位的速度向左平移。经过t秒后，线段变为D₁E₁，其中D₁的坐标为(6-t,0)，E₁的坐标为(4-t,0)。我们需要求点F(2,4)与线段D₁E₁的特征值h的取值范围。
让我们观察线段的平移过程。当t等于2时，线段移动到新位置。我们可以看到线段在不断向左移动。对于线段上任意一点P(x,0)，其中4减t小于等于x小于等于6减t，点F与点P的特征值为x减2的绝对值。
通过分析可知，当x等于6减t时，特征值h等于4减t的绝对值；当x等于4减t时，特征值h等于2减t的绝对值。由于0小于t小于等于8，我们可以确定特征值h的取值范围是2到6之间。
现在我们分析正方形的配置问题。已知面积为2的正方形，其对角线交点为G(2t, 2t)，且至少有一条边与坐标轴平行。根据这个条件，我们可以确定有两种可能的配置。
第一种配置是正方形的边平行于坐标轴。由于面积为2，边长为根号2。正方形的四个顶点坐标为(2t±√2/2, 2t±√2/2)。我们可以在图中看到这个蓝色的正方形。
第二种配置是正方形的对角线平行于坐标轴。此时对角线长度为2，正方形的四个顶点坐标为(2t±1, 2t)和(2t, 2t±1)。这就是图中绿色的正方形。这两种配置都满足至少有一条边与坐标轴平行的条件。
现在我们来求解特征值的最值问题。对于两种正方形配置，我们需要计算它们与线段D₁E₁的特征值k。通过分析可知，两种配置的特征值计算公式是相同的，都等于6减3t和4减3t绝对值的最大值。
为了找到k的最小值，我们需要使6减3t和4减3t的绝对值最大值最小。当3t等于5，即t等于三分之五时，两个绝对值相等，此时k达到最小值1。让我们在图中观察这个最优位置。
最后，我们求解当k小于等于6时t的取值范围。需要同时满足6减3t的绝对值小于等于6和4减3t的绝对值小于等于6。解这个不等式组，得到t的取值范围是0到4。因此，k的最小值为1，当k小于等于6时，t的取值范围为0到4。