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复数是数学中的一个重要概念。在实数系统中，像x²+1=0这样的方程没有解，因为没有实数的平方等于负一。为了解决这个问题，数学家引入了复数。复数的标准形式是a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。例如3+2i、5-4i都是复数，而6+0i实际上就是实数6。
虚数单位i是复数理论的基础，它的定义是i²=-1。虚数单位i有一个非常有趣的性质，就是它的幂次呈现循环模式。i的一次方等于i，二次方等于负一，三次方等于负i，四次方等于一，然后五次方又回到i，如此循环往复。这个四次循环的规律使得i的任何整数次幂都可以简化为i、负一、负i或一这四个值之一。
复数不仅可以用代数形式表示，还可以用几何方法在复平面上表示。复平面是一个坐标系统，其中横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。任何复数a+bi都可以表示为复平面上的一个点，其坐标为(a,b)。例如，复数2+i对应点(2,1)，复数-1+2i对应点(-1,2)。这种几何表示为我们理解复数提供了直观的视角，使复数运算具有了几何意义。
复数的基本运算包括加法、减法和乘法。加法运算时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。例如(3+2i)+(1-4i)等于4-2i。减法类似，实部与实部相减，虚部与虚部相减。乘法运算按照分配律展开，需要利用i²=-1的性质。例如(2+3i)×(1+i)，展开后得到2+2i+3i+3i²，化简后等于-1+5i。这些运算规则使复数系统成为一个完整的数系。
复数有两个重要的概念：模和共轭。复数的模，也叫绝对值，定义为|a+bi|=√(a²+b²)，它的几何意义是从原点到复数对应点的距离。例如复数3+2i的模等于√13。复数的共轭是将虚部符号改变，如果z=a+bi，那么z的共轭等于a-bi。共轭复数在复平面上关于实轴对称。这两个概念在复数理论和应用中都非常重要。