视频字幕
勾股定理是几何学中最重要的定理之一，也被称为毕达哥拉斯定理。在直角三角形中，两条直角边分别称为勾和股，斜边称为弦。勾股定理表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用数学公式表示就是a的平方加b的平方等于c的平方。这个定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
现在我们用几何方法证明勾股定理。我们构造一个边长为a加b的大正方形，在其内部放置四个全等的直角三角形，这样中心就形成了一个边长为c的小正方形。通过计算面积关系，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上中心小正方形的面积。即括号a加b的平方等于4倍的二分之一ab加c的平方。展开左边得到a的平方加2ab加b的平方等于2ab加c的平方。消去两边的2ab，就得到了勾股定理：a的平方加b的平方等于c的平方。
现在我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的勾股数是3、4、5。我们计算：3的平方加4的平方等于9加16等于25，而5的平方也等于25，完全相等。另一组经典勾股数是5、12、13：5的平方加12的平方等于25加144等于169，13的平方也等于169。还有8、15、17这组：8的平方加15的平方等于64加225等于289，17的平方同样等于289。这些数值验证充分证明了勾股定理的正确性，这些特殊的整数组合被称为勾股数。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a的平方加b的平方等于c的平方，那么这个三角形就是直角三角形。这个逆定理为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的方法。例如，对于边长为6、8、10的三角形，我们计算6的平方加8的平方等于36加64等于100，而10的平方也等于100，所以这是直角三角形。但对于边长3、4、6的三角形，3的平方加4的平方等于25，而6的平方等于36，25不等于36，所以这不是直角三角形。逆定理在实际应用中非常有用。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。在建筑工程中，工人使用勾股定理检验墙角是否为直角。在导航定位中，通过三点定位计算距离。最常见的是梯子靠墙问题：一个5米长的梯子，底端距离墙面3米，我们要求梯子顶端距离地面的高度。根据勾股定理，高度的平方加3的平方等于5的平方，即h的平方加9等于25，所以h的平方等于16，高度h等于4米。在实际应用中，还要考虑安全因素，梯子与地面的夹角通常应该保持在75度左右。