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贝叶斯公式是概率论中的重要定理，由英国数学家托马斯·贝叶斯在18世纪提出。这个公式描述了如何根据新的证据来更新我们对事件概率的认知。公式的形式是P(A|B)等于P(B|A)乘以P(A)再除以P(B)。右侧的韦恩图展示了两个事件A和B在样本空间中的关系，其中紫色区域表示A和B的交集。
条件概率是贝叶斯公式的核心概念。P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，计算公式是A与B交集的概率除以B的概率。而P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。这两个条件概率是不同的，条件不同，结果也不同。通过韦恩图可以直观地看到，当我们已知B发生时，样本空间缩小到红色区域，此时A发生的概率就是紫色交集部分占红色区域的比例。
现在我们用韦恩图来直观推导贝叶斯公式。关键在于理解交集区域P(A∩B)可以用两种方法计算。方法一：P(A∩B)等于P(A|B)乘以P(B)，这表示先确定B发生的概率，再乘以在B条件下A发生的概率。方法二：P(A∩B)等于P(B|A)乘以P(A)，这表示先确定A发生的概率，再乘以在A条件下B发生的概率。由于两种方法计算的是同一个交集面积，所以P(A|B)乘以P(B)等于P(B|A)乘以P(A)。将等式两边同时除以P(B)，就得到了贝叶斯公式。
让我们通过一个医学检测的实例来理解贝叶斯公式的应用。假设某种疾病的发病率为1%，检测的准确率为95%，即患病时检测阳性的概率是95%，健康时检测阴性的概率也是95%。现在问题是：如果检测结果为阳性，真正患病的概率是多少？直觉上可能认为是95%，但实际上需要用贝叶斯公式计算。首先计算检测阳性的总概率，包括真阳性和假阳性，结果约为5.9%。然后用贝叶斯公式计算，结果显示检测阳性时真正患病的概率仅约16%。这个反直觉的结果说明了贝叶斯公式在处理低概率事件时的重要性。