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在数学发展过程中，我们发现实数系统存在局限性。比如方程x²+1=0在实数范围内无解。为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位i，定义为负一的平方根。虚数单位的重要性质是i的平方等于负一。
基于虚数单位i，我们可以定义复数。复数的标准形式是a+bi，其中a称为实部，b称为虚部，且a和b都是实数。让我们看几个复数的例子。
为了更好地理解复数，我们可以用几何的方法来表示它们。我们建立一个复平面，其中横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。每个复数a+bi都可以对应平面上的一个点，坐标为(a,b)。
让我们看几个具体的例子。复数3+2i对应点(3,2)，复数-2+i对应点(-2,1)，复数1-2i对应点(1,-2)。每个复数不仅可以表示为平面上的点，还可以表示为从原点出发的向量。
复数的运算遵循特定的规则。加法运算是将实部与实部相加，虚部与虚部相加。减法类似，实部减实部，虚部减虚部。乘法运算需要展开并利用i的平方等于负一的性质。
让我们通过几何图形来理解复数加法。以(2+i)加(3+2i)为例，结果是5+3i。在复平面上，复数加法遵循平行四边形法则，就像向量加法一样。
除法运算中需要用到共轭复数的概念。复数z=a+bi的共轭复数是a-bi。利用共轭复数，我们可以将分母实数化，从而完成除法运算。
除了直角坐标形式，复数还可以用极坐标形式表示。我们需要定义两个重要概念：模长和幅角。模长r是复数对应向量的长度，等于实部和虚部平方和的平方根。幅角θ是向量与正实轴的夹角。
利用三角函数关系，我们可以得到复数的极坐标形式：z等于r乘以余弦θ加i正弦θ。这里展示了一个具体例子，复数3+2i的模长和幅角计算。
数学中有一个美妙的公式叫做欧拉公式：e的iθ次方等于余弦θ加i正弦θ。利用这个公式，复数的极坐标形式可以简洁地写成z等于r乘以e的iθ次方。这种表示方法在复数运算中非常有用。
复数在数学和工程中有广泛应用。首先看解二次方程的应用。当判别式小于零时，方程在实数范围内无解，但在复数范围内有两个共轭复数解。例如方程x²+2x+5=0的解是-1±2i。
棣莫弗定理展示了复数极坐标形式在计算高次方时的优势。复数的n次方等于模长的n次方乘以幅角n倍的指数形式。让我们计算(1+i)的8次方。
复数在电学中也有重要应用，特别是在交流电路分析中。复数可以优雅地表示交流电的幅度和相位关系，使得复杂的交流电路计算变得简单。这些应用展示了复数不仅是数学概念，更是解决实际问题的有力工具。