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狄利克雷函数是数学分析中一个著名的病态函数。它的定义非常简单：当自变量x是有理数时，函数值为1；当x是无理数时，函数值为0。在数轴上，我们用蓝色点表示有理数，它们的函数值都是1；用红色点表示无理数，它们的函数值都是0。这个看似简单的函数却具有非常特殊的性质。
为了深入理解狄利克雷函数，我们需要明确有理数和无理数的概念。有理数是可以表示为两个整数比值的数，如二分之一、负三分之二等。无理数则不能表示为分数形式，如根号二、圆周率π、自然常数e等。有理数和无理数都在实数轴上稠密分布，这意味着在任意小的区间内，都同时存在无穷多个有理数和无理数。这个性质使得狄利克雷函数具有了非常特殊的行为。
狄利克雷函数的图像具有非常特殊的特征。首先，函数值只有两个：0和1。其次，这个函数在每一点都不连续，无法绘制出传统意义上的连续曲线。在坐标系中，我们用蓝色点表示有理数对应的函数值1，用红色点表示无理数对应的函数值0。由于有理数和无理数在实数轴上都稠密分布，在任意小的区间内，都同时存在无穷多个值为0的点和值为1的点，这使得函数图像呈现出密集的跳跃特性。
现在我们来分析狄利克雷函数的连续性。根据连续性定义，函数在某点连续需要满足极限值等于函数值。对于狄利克雷函数，我们分两种情况讨论。第一种情况：当x₀是有理数时，函数值D(x₀)等于1，但在x₀的任意小邻域内都存在无理数，这些点的函数值为0，因此极限不存在。第二种情况：当x₀是无理数时，函数值D(x₀)等于0，但在其任意小邻域内都存在有理数，这些点的函数值为1，极限同样不存在。因此，狄利克雷函数在实数轴上的每一点都不连续。
接下来我们讨论狄利克雷函数的黎曼可积性。根据黎曼可积的充要条件，函数可积当且仅当上和与下和的差趋于零。对于狄利克雷函数，我们对区间进行任意分割。在计算上和时，由于每个子区间都包含有理数，函数的上确界为1，因此上和等于区间长度b减a。在计算下和时，由于每个子区间都包含无理数，函数的下确界为0，因此下和为0。这样，上和与下和的差始终等于区间长度，不会趋于零。因此，狄利克雷函数在任何区间上都不是黎曼可积的。