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琴生不等式是数学分析中的一个重要不等式，由丹麦数学家约翰·琴生在1906年提出。该不等式描述了凸函数的一个基本性质：凸函数在凸组合点的函数值，小于等于函数值的凸组合。右图展示了这一几何直观：对于凸函数，任意两点间的弦总是位于函数曲线的上方，这正是琴生不等式的几何表现。
凸函数是琴生不等式的核心概念。数学上，如果对于定义域内任意两点x和y，以及任意λ属于0到1之间，都有f在λx加1减λ乘y处的函数值小于等于λ乘f(x)加1减λ乘f(y)，那么f就是凸函数。几何上，这意味着连接函数图像上任意两点的弦，都位于函数曲线的上方或与之重合。右图动画演示了这一性质：橙色点表示函数在凸组合点的实际值，紫色点表示函数值的凸组合，可以看到橙色点总是在紫色点的下方。
现在我们来完整表述琴生不等式。对于凸函数f和满足条件的权重λᵢ，琴生不等式表述为：f在所有λᵢ乘xᵢ的和处的函数值，小于等于所有λᵢ乘f(xᵢ)的和。这里的条件是：f必须是凸函数，所有权重λᵢ都非负，且所有权重的和等于1。当n等于2时，不等式简化为我们之前看到的形式。右图展示了三个点的情况：红色点表示原始的函数值点，橙色点表示凸组合点的实际函数值，紫色点表示函数值的凸组合。可以看到，橙色点总是在紫色点的下方，这正体现了琴生不等式的核心内容。
让我们通过一个具体的例子来直观理解琴生不等式。考虑凸函数f(x)等于x的平方，取两个点x1等于1和x2等于3，权重分别为0.4和0.6。首先计算凸组合：0.4乘以1加0.6乘以3等于2.2。然后计算不等式左边：f(2.2)等于2.2的平方等于4.84。再计算右边：0.4乘以f(1)加0.6乘以f(3)，即0.4乘以1加0.6乘以9等于5.8。结果4.84小于5.8，验证了琴生不等式。在右图中，橙色点表示f(2.2)的值4.84，紫色点表示函数值凸组合5.8，可以清楚地看到橙色点位于紫色点下方，直观地展示了琴生不等式的几何意义。
琴生不等式的一个经典应用是证明算术-几何平均不等式。AM-GM不等式表述为：n个正数的算术平均大于等于它们的几何平均。证明思路是使用凹函数ln(x)。由于ln(x)是凹函数，琴生不等式的方向会相反。对于权重都等于n分之一的情况，我们有ln函数在算术平均处的值大于等于ln函数值的算术平均。右图展示了这一过程：橙色点表示ln函数在算术平均处的值，紫色点表示ln函数值的平均。由于ln(x)是凹函数，橙色点位于紫色点上方。对不等式两边取指数，就得到了AM-GM不等式。这个例子完美展示了琴生不等式在证明其他重要不等式中的强大作用。