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二元一次方程是数学中的重要概念。它是含有两个未知数,且未知数的最高次数为1的方程。标准形式写作ax加by等于c,其中a和b是未知数的系数,c是常数项,x和y是未知数。例如2x加3y等于6就是一个典型的二元一次方程,其中系数a等于2,系数b等于3,常数项c等于6。
二元一次方程的解是一对数值,记作括号x逗号y,使得方程等式成立。以方程2x加3y等于6为例,我们可以验证几组解。当x等于0,y等于2时,代入得2乘以0加3乘以2等于6,等式成立。当x等于3,y等于0时,代入得2乘以3加3乘以0等于6,等式也成立。当x等于1.5,y等于1时,代入得2乘以1.5加3乘以1等于6,等式同样成立。实际上,二元一次方程有无穷多个解。
二元一次方程在坐标系中具有重要的几何意义,它表示一条直线。以方程2x加3y等于6为例,我们可以在坐标系中绘制这条直线。直线上的每个点的坐标都是方程的解,而方程的每个解都对应直线上的一个点。例如点括号0逗号2、点括号3逗号0、点括号1.5逗号1都在这条直线上,它们的坐标都满足方程2x加3y等于6。这样,我们就建立了代数方程与几何图形之间的对应关系。
现在我们来详细学习二元一次方程的求解方法。基本思路是给定一个未知数的值,求另一个未知数的值。以方程2x加3y等于6为例。当x等于0时,代入得到2乘以0加3y等于6,化简得3y等于6,所以y等于2,解为括号0逗号2。当x等于3时,代入得到2乘以3加3y等于6,即6加3y等于6,化简得3y等于0,所以y等于0,解为括号3逗号0。当y等于0时,代入得到2x加3乘以0等于6,化简得2x等于6,所以x等于3,解为括号3逗号0。当y等于2时,代入得到2x加3乘以2等于6,即2x加6等于6,化简得2x等于0,所以x等于0,解为括号0逗号2。通过这种方法,我们可以求出方程的多组解。
现在我们通过一个实际问题来应用二元一次方程。问题是这样的:小明买了x支铅笔和y本笔记本,铅笔每支2元,笔记本每本5元,总共花了20元。我们可以建立数学模型:2x加5y等于20。这个方程有多个解,比如括号10逗号0表示买10支铅笔和0本笔记本,验证:2乘以10加5乘以0等于20。括号5逗号2表示买5支铅笔和2本笔记本,验证:2乘以5加5乘以2等于20。括号0逗号4表示买0支铅笔和4本笔记本,验证:2乘以0加5乘以4等于20。在实际情况中,x和y必须是非负整数,这限制了可行解的范围。通过这个例子,我们看到二元一次方程在解决实际问题中的重要作用。