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三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与比值的关系。正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
特殊角的三角函数值是需要熟练掌握的。30度角的正弦值是二分之一，余弦值是二分之根号三。45度角的正弦和余弦值都是二分之根号二。60度角的正弦值是二分之根号三，余弦值是二分之一。90度角的正弦值是1，余弦值是0。
三角恒等式是三角函数的重要性质。最基本的是勾股恒等式：正弦的平方加余弦的平方等于1。正切函数等于正弦除以余弦。还有余角公式：90度减θ的正弦等于θ的余弦，90度减θ的余弦等于θ的正弦。另外，正弦是奇函数，余弦是偶函数。
解三角形是指已知三角形的某些边和角，求出所有未知边和角的过程。这在测量、导航、工程等领域有广泛应用。解三角形主要使用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理。在任意三角形中，我们用大写字母A、B、C表示角，用小写字母a、b、c表示对应的边。
正弦定理和余弦定理是解三角形的核心工具。正弦定理表示：a比sin A等于b比sin B等于c比sin C，都等于2倍外接圆半径R。余弦定理是勾股定理的推广，a的平方等于b的平方加c的平方减去2bc乘cos A。正弦定理适用于已知两角一边的情况，余弦定理适用于已知两边一角或三边的情况。这两个定理使我们能够解决各种三角形问题。
三角恒等变换是三角函数的重要工具。和差公式描述了两角和或差的三角函数值与单个角三角函数值的关系。正弦的和角公式是：sin(α+β)等于sinα乘cosβ加cosα乘sinβ。余弦的和角公式是：cos(α+β)等于cosα乘cosβ减sinα乘sinβ。倍角公式是和差公式的特殊情况，当β等于α时得到。这些公式在解三角形和三角函数化简中非常重要。
正弦定理是解三角形的重要工具之一。它表述为：在任意三角形中，各边与其对角正弦值的比相等，都等于外接圆直径。即a比sinA等于b比sinB等于c比sinC等于2R，其中R是外接圆半径。正弦定理的证明基于三角形的外接圆性质。正弦定理主要用于已知两角一边或两边一角的情况，但要注意两边一角时可能存在两解的情况。
余弦定理是解三角形的另一个重要工具，它是勾股定理的推广。余弦定理表述为：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的两倍乘积。例如a的平方等于b的平方加c的平方减去2bc乘cosA。余弦定理可以变形求角度，cosA等于b平方加c平方减a平方除以2bc。余弦定理适用于已知三边求角或已知两边夹角求第三边的情况。当角A为90度时，余弦定理就退化为勾股定理。
现在我们通过一个具体例题来演示解三角形的完整过程。已知三角形中a等于7，b等于5，角A等于60度，求其余边和角。这是一个已知两边一角的SSA情况。首先用正弦定理求角B：sinB比b等于sinA比a，所以sinB等于5倍sin60度除以7，等于5倍根号3除以14。然后利用三角形内角和求角C：C等于180度减A减B。最后用正弦定理求边c：c等于a乘sinC除以sinA。我们还可以用面积公式S等于二分之一ab乘sinC来求三角形面积。