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微积分是数学中研究变化率和累积量的重要分支，由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发明。微积分包含两个核心概念：导数和积分。导数描述函数在某点的瞬时变化率，几何上表示曲线的切线斜率。积分则计算曲线下的面积，表示累积量。以函数f(x)=x²为例，其导数f'(x)=2x表示在任意点x处的斜率，而从0到2的积分等于8/3，表示曲线下方的面积。
三角函数是描述角度与边长关系的重要数学工具。在直角三角形中，正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。在单位圆中，角θ对应的点的坐标就是(cosθ, sinθ)。当角度从0变化到2π时，点沿着单位圆运动，正弦和余弦值呈现周期性变化。最重要的恒等式是sin²θ + cos²θ = 1，这反映了单位圆上任意点到原点的距离都等于1。三角函数具有周期性和对称性等重要性质。
极限是微积分的核心概念，描述函数在某点附近的趋近行为。当x趋近于a时，如果函数f(x)趋近于某个值L，我们就说函数在a点的极限是L。严格的ε-δ定义表述为：对于任意小的正数ε，都存在正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，f(x)与L的距离就小于ε。经典例子是当x趋近于0时，sinx除以x的极限等于1。虽然在x=0处函数未定义，但通过极限我们可以确定其趋近值。连续性概念要求函数在某点的极限值等于该点的函数值。极限概念为导数的定义奠定了基础。
欧拉公式是数学中最美丽的公式之一，它将指数函数与三角函数联系起来。公式表述为e的i倍θ次方等于cosθ加上i倍sinθ。这个公式可以通过泰勒级数展开来推导。指数函数、正弦函数和余弦函数都可以表示为无穷级数的形式。将ix代入指数函数的泰勒展开，并利用i的幂次规律，可以分离出实部和虚部，从而得到欧拉公式。在复平面上，欧拉公式具有清晰的几何意义：e的iθ次方表示单位圆上与实轴成θ角的点，其实部是cosθ，虚部是sinθ。当θ变化时，这个点沿着单位圆运动，展现了复数指数形式与三角形式的完美统一。
细胞分裂是生物体生长和繁殖的基础过程。主要包括两种类型：有丝分裂和减数分裂。有丝分裂发生在体细胞中，产生两个遗传信息相同的子细胞；减数分裂发生在生殖细胞中，产生遗传信息减半的配子。有丝分裂包括几个关键阶段：首先是间期，细胞进行正常的生理活动；然后是S期，DNA进行复制，确保遗传信息能够准确传递；接着是前期，核膜消失，纺锤体开始形成；中期时，染色体排列在细胞中央，纺锤丝牵引染色体；最后是末期，染色体分离到细胞两端，细胞质开始分裂，最终形成两个完整的子细胞。细胞分裂对生物体具有重要意义，它不仅是生长发育的基础，也是组织修复和物种繁殖的关键过程。