视频字幕
我们需要将一个棱长5厘米的正方体分割成棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的小正方体，求最少能分成几个。首先建立问题的数学模型。大正方体的体积是5的3次方等于125立方厘米。三种小正方体的体积分别是1立方厘米、8立方厘米和27立方厘米。根据体积守恒原理，设三种小正方体的个数分别为x、y、z，则有约束方程x加8y加27z等于125，我们的目标是最小化总个数x加y加z。
现在我们深入分析约束方程x加8y加27z等于125。由于x、y、z都是非负整数，我们需要确定z的取值范围。因为27z不能超过125，所以z最大为4。我们可以用图表来展示不同z值对应的解空间。当z等于0时，剩余体积125，y最大为15；当z等于1时，剩余体积98，y最大为12；依此类推。我们需要逐一分析z等于0到4的每种情况，找出使总个数最小的最优解。
我们有一个棱长为5厘米的正方体，需要将其分割成棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的小正方体。问题是：最少能分成几个小正方体？这是一个典型的整数规划问题。
首先建立约束方程。设x为棱长1厘米正方体的个数，y为棱长2厘米正方体的个数，z为棱长3厘米正方体的个数。由于体积必须相等，我们有约束方程：x乘以1的三次方，加上y乘以2的三次方，加上z乘以3的三次方，等于5的三次方，即x加8y加27z等于125。我们的目标是最小化总个数x加y加z。
现在我们逐一分析每个z值的情况。当z等于4时，约束方程变为x加8y等于17。如果y等于2，x等于1，总个数7。类似地分析其他z值：z等于3时最优总个数12，z等于2时最优总个数17，z等于1时最优总个数15，z等于0时最优总个数20。通过比较所有情况，我们发现当z等于4、y等于2、x等于1时，总个数最少，只需要7个小正方体。
通过比较所有可能的解，我们确定最优解为z等于4，y等于2，x等于1，总个数为7个。让我们验证这个解的正确性：1个1立方厘米的小正方体体积为1，2个8立方厘米的小正方体体积为16，4个27立方厘米的小正方体体积为108，总体积1加16加108等于125立方厘米，与原正方体体积相符。因此，最少可以分成7个小正方体，包括1个1×1×1的，2个2×2×2的，和4个3×3×3的小正方体。
最后我们验证这个解的几何可行性。通过合理的空间排列，7个小正方体确实可以完美组合成5×5×5的大正方体。总结一下解题的关键步骤：首先建立体积守恒方程，然后确定变量取值范围，接着逐一分析求最优解，最后验证几何可行性。这类问题的一般解法是将几何问题转化为整数规划问题，通过枚举法求解最优解。因此，最终答案是：一个棱长5厘米的正方体最少能分成7个小正方体。