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我们来分析这个约束优化问题。已知实数x和y满足约束条件x²+y²+xy=1，要求2x²+y²的最大值。首先分析约束条件的几何意义。x²+y²+xy=1表示一个椭圆，这就是我们的可行域。我们需要在这个椭圆上找到使目标函数2x²+y²达到最大值的点。
为了求解这个约束优化问题，我们使用拉格朗日乘数法。这是求解等式约束优化问题的经典方法。核心思想是：在最优点处，目标函数的梯度与约束函数的梯度必须平行。我们构造拉格朗日函数L等于目标函数2x²+y²减去λ乘以约束条件x²+y²+xy-1。在最优点处，目标函数梯度∇f等于λ倍的约束函数梯度∇g。
现在我们来求解临界点。对拉格朗日函数求偏导数，得到三个方程：L对x的偏导数等于4x减λ乘以2x加y等于0，L对y的偏导数等于2y减λ乘以2y加x等于0，L对λ的偏导数等于约束条件x²+y²+xy-1等于0。通过求解这个方程组，我们可以得到四个临界点：第一组是x等于0，y等于正负1；第二组是x等于正负2除以根号3，y等于负正1除以根号3。这些点都在椭圆上。
为了验证结果，我们使用参数化方法。将椭圆参数化，设x等于根号三分之二乘以cos t加三分之一倍根号三乘以sin t，y等于三分之二倍根号三乘以sin t。将参数表达式代入目标函数2x²+y²，得到关于参数t的函数f(t)等于三分之四加三分之四乘以cos(2t)。对f(t)求导并令其为零，得到t等于0和π时函数取最大值。最大值为三分之四加三分之四等于三分之八。这与拉格朗日乘数法的结果一致。
现在我们验证计算结果。将各个临界点代入目标函数2x²+y²：对于点(0,1)和(0,-1)，函数值都等于1；对于点(2/√3, -1/√3)和(-2/√3, 1/√3)，函数值都等于8/3加1/3等于3。因此，2x²+y²的最大值为4/3，在点(±2/√3, ∓1/√3)处取得。两种方法——拉格朗日乘数法和参数化方法——得到了一致的结果，验证了我们解答的正确性。