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量子神经网络是量子计算与神经网络相结合的新兴技术。与经典神经网络不同，量子神经网络利用量子比特的叠加态和纠缠态特性，能够在量子空间中进行并行计算，理论上可以实现指数级的计算加速。
量子比特是量子计算的基本单位，可以表示为α|0⟩ + β|1⟩的叠加态，其中α和β是复数振幅，满足归一化条件。布洛赫球面是量子比特状态的几何表示，北极代表|0⟩态，南极代表|1⟩态。常用的量子门包括Pauli-X门、Hadamard门和CNOT门，它们分别实现比特翻转、叠加态制备和量子纠缠操作。
量子神经网络的基本架构包含三个主要层次。首先是编码层，负责将经典数据编码为量子态，常用方法包括角度编码和振幅编码。接下来是变分量子电路层，这是网络的核心可训练部分，包含参数化量子门和纠缠操作。最后是测量层，通过泡利算符测量获得期望值，将量子信息转换回经典输出。
变分量子电路是量子神经网络的核心可训练部分，由参数化量子门构成。电路的形式为U(θ)等于各个参数化门的乘积，目标是最小化代价函数。常见的电路设计包括Hardware Efficient Ansatz，采用单比特旋转门和纠缠门层的交替结构。参数通过变分原理和梯度下降方法进行优化，其中参数移位规则用于计算量子梯度。
量子神经网络的训练过程包含四个主要步骤。首先是前向传播，将输入数据编码为量子态并通过变分量子电路处理。然后计算损失函数，衡量预测输出与真实标签的差异。接下来使用参数移位规则估计梯度，这是量子计算中的特殊技术。最后根据梯度更新参数，重复这个过程直到收敛。训练过程中可以观察到损失函数逐渐下降，量子态在布洛赫球面上的演化轨迹。