8、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数零点个数的判定'， '导数中的极值点偏移（双变量问题）']

正确率0.0%关于函数$$f \left( x \right)=\frac{2} {x}+\operatorname{l n} x$$，下列说法错误的是（）

D

A.$${{x}{=}{2}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的极小值点

B.函数$$y=f \left( x \right)-x$$有且只有$${{1}}$$个零点

C.对任意两个正实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，且$${{x}_{2}{>}{{x}_{1}}}$$，若$$f \left( x_{1} \right)=f \left( x_{2} \right)$$，则$$x_{1}+x_{2} > 4$$

D.存在正实数$${{k}}$$，使得$$f ( x ) > k x$$恒成立

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我们来分析函数f(x)等于2除以x加上ln x。首先确定其定义域为大于0的所有实数。计算一阶导数f'(x)等于负2除以x的平方加上1除以x。二阶导数f''(x)等于4除以x的三次方减去1除以x的平方。从函数图像可以看出，函数在x等于2处有一个明显的极值点。 现在分析函数的单调性和极值点。将一阶导数f'(x)化简为x减2除以x的平方。当x在0到2之间时，分子x减2小于0，分母x的平方大于0，所以f'(x)小于0，函数单调递减。当x大于2时，分子x减2大于0，所以f'(x)大于0，函数单调递增。因此x等于2是函数的极小值点。通过二阶导数验证，f''(2)等于四分之一大于0，确认这是极小值点。选项A正确。 现在分析函数y等于f(x)减x的零点个数。构造函数g(x)等于2除以x加ln x减x。计算g'(x)等于负2除以x平方加1除以x减1，化简得负x平方减2加x除以x平方。由于分子负x平方加x减2的判别式小于0，所以分子恒小于0，因此g'(x)恒小于0，g(x)单调递减。当x趋于0正时g(x)趋于正无穷，当x趋于正无穷时g(x)趋于负无穷。由零点存在定理，单调递减的连续函数g(x)有且仅有一个零点。选项B正确。 现在分析极值点偏移问题。设f(x₁)等于f(x₂)且x₂大于x₁大于0。由函数单调性可知x₁属于区间0到2，x₂属于区间2到正无穷。由等式条件得到2除以x₁加ln x₁等于2除以x₂加ln x₂。整理得2倍的1除以x₁减1除以x₂等于ln x₂除以x₁。构造辅助函数h(t)等于f(t)加f(4减t)，其中t属于0到2。通过计算h'(t)等于f'(t)减f'(4减t)，可以证明h'(t)恒小于0，因此x₁加x₂大于4恒成立。选项C正确。 最后分析不等式恒成立问题。要使f(x)大于kx恒成立，即2除以x加ln x大于kx。构造函数φ(x)等于f(x)除以x，即2除以x平方加ln x除以x。计算φ'(x)等于负4除以x三次方加1减ln x除以x平方。令φ'(x)等于0得到x等于e。当x趋于0正时φ(x)趋于正无穷，当x趋于正无穷时φ(x)趋于负无穷。这说明φ(x)既有正值又有负值，因此不存在正数k使得不等式f(x)大于kx恒成立。选项D错误，这就是我们要找的答案。