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流形是现代几何学中的基本概念。简单来说，流形是局部看起来像欧几里得空间的几何对象。虽然全局可能有复杂的拓扑结构，但在每个局部区域内，我们都可以建立类似于平面坐标系的坐标系统。流形的维数决定了局部坐标的个数。常见的例子包括二维的球面和环面，以及更高维的球面。这些几何对象可以弯曲，但不能撕裂或折叠，保持了连续性和光滑性。
复流形是流形概念的重要推广，其局部坐标不再是实数，而是复数。在n维复流形上，每个点的坐标可以写成z的i次方等于x的i次方加上i乘以y的i次方的形式。Kähler流形是一类特殊的复流形，它同时具有复结构、Hermitian度规和闭合的Kähler形式。Kähler度规可以从Kähler势函数K通过对复坐标和其共轭的二阶偏导数得到。Kähler形式则是由度规构造的二次微分形式，它在Kähler几何中起着核心作用。
曲率是描述流形几何性质的核心概念。Riemann曲率张量完整地刻画了流形在每一点的内在弯曲程度。通过对Riemann张量进行收缩，我们得到Ricci曲率张量，它描述了流形体积元素的变化率。进一步收缩得到Ricci标量，这是一个标量场。在Einstein的广义相对论中，Einstein方程将时空的曲率与物质能量联系起来。当物质能量张量为零时，我们得到Ricci平坦条件，即Ricci张量等于零。不同的曲率对应不同的几何：正曲率如球面，负曲率如马鞍面，零曲率如平面。
现在我们可以给出Calabi-Yau流形的完整定义。Calabi-Yau流形是同时满足四个条件的几何对象：首先，它必须是紧致的复流形，这保证了流形在某种意义下是有限的；其次，它必须具有Kähler结构，即存在兼容的复结构和symplectic结构；第三，它必须是Ricci平坦的，即Ricci曲率张量处处为零；最后，第一Chern类必须为零。这些条件可以用数学公式简洁地表达为Ricci张量等于零且第一Chern类为零。等价地，我们可以用holonomy群的语言来描述：Calabi-Yau流形的holonomy群包含在特殊酉群SU(n)中。丘成桐在1970年代证明了著名的定理：对于给定的复结构，存在唯一的Ricci平坦Kähler度规。
高维Calabi-Yau流形展现出极其丰富和复杂的几何结构。随着维数的增加，这些流形的复杂性呈指数增长。在分类上，一维复Calabi-Yau流形是椭圆曲线，二维的是K3曲面，三维的对应六维实流形，一般n维复Calabi-Yau流形对应2n维实流形。这些高维流形的拓扑性质可以用Hodge数来刻画，Hodge数h的p,q次方表示相应上同调群的维数。Euler特征数是所有Hodge数的交替和。在弦理论中，六维Calabi-Yau流形特别重要，因为它们可以作为额外维度的紧化空间，帮助解释我们观察到的四维时空。所有Calabi-Yau流形构成一个称为模空间的参数空间，这个空间本身也具有深刻的几何结构。