请参考图片内容，帮我生成一个讲解的视频---Here is the extracted content from the image: **Section Title:** 2.1 导数的概念 **Subsection Title:** 2.1.1 引入导数概念的实例 **Introduction:** 为了说明导数的定义，下面先介绍两个典型的问题：速率问题和切线问题。 **Question/Problem 1:** 1. 速率问题 **Problem Description:** 实际上，这是一个日常生活中的例子： 我们经常要乘汽车到单位上班，假如单位距离住所的行驶距离是 30 km，大约需要行驶 40 min，可以推断出汽车行驶的平均速率为 45 km/h，这是用匀速运动公式 v = S/t (其中 S 表示路程，t 表示时间) 计算出来的。然而，在实际问题中，由于行驶中的路况不同，汽车经常是时快时慢地在做变速运动。若问汽车行驶到第 20 min 时的速率为多少，显然，用 45 km/h 作为此时的答案是不合适的。那么如何确定汽车此时的速率呢？可以设想一下，汽 **Question Stem:** ...是连续的还是间断的? 记在连续函数的有关... ...续的. **Mathematical Formula:** (2) y = 2/x - sqrt(1 - x^2)

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

导数是微积分学中的核心概念之一。为了理解导数的定义和意义，我们需要从两个经典的实际问题入手：速率问题和切线问题。速率问题关注的是物体运动的瞬时速度，而切线问题研究的是曲线在某点的切线斜率。这两个看似不同的问题，实际上有着相同的数学本质，都需要用到极限的思想来解决。通过这两个问题的分析，我们将逐步建立起导数的概念，并理解其在数学和物理中的重要意义。 现在我们来分析具体的速率问题。假设我们开车上班，距离是30公里，用时40分钟，可以计算出平均速率是45公里每小时。但在实际行驶中，汽车的速度是不断变化的，有时快有时慢。如果我们想知道在第20分钟时汽车的瞬时速率是多少，显然用平均速率45公里每小时来回答是不合适的。那么如何确定汽车在某个特定时刻的瞬时速率呢？这就需要我们考虑在极小的时间间隔内，汽车位移的变化率，这正是导数概念要解决的核心问题。 现在我们建立数学模型来描述从平均速率到瞬时速率的过程。设汽车的位移函数为s(t)，那么在时刻t₀的平均速率就是位移增量除以时间增量。当我们让时间间隔Δt逐渐减小时，平均速率会越来越接近某个确定的值，这个值就是瞬时速率。从几何角度看，平均速率对应的是割线的斜率，而瞬时速率对应的是切线的斜率。当Δt趋向于0时，割线逐渐逼近切线，平均速率的极限就是瞬时速率。这个极限过程的数学表达式，正是导数的定义。 现在我们来看第二个典型问题：切线问题。在传统几何中，我们熟悉圆的切线概念，切线与圆只有一个交点。但是对于一般的曲线，如何定义切线呢？我们不能简单地用交点个数来判断。解决这个问题的思路是：用割线来逼近切线。当曲线上两点P和Q无限接近时，通过这两点的割线就趋向于点P处的切线。这个过程中，割线的斜率逐渐趋向于切线的斜率。有趣的是，这个切线斜率问题与前面的速率问题在数学本质上是完全相同的，都需要用极限的思想来解决。 现在我们来总结速率问题和切线问题的共同特点。这两个看似不同的问题，实际上都涉及到比值的极限：速率问题是位移增量除以时间增量的极限，切线问题是函数增量除以自变量增量的极限。基于这个共同的数学本质，我们可以给出导数的统一定义：函数f在点x₀处的导数，等于当自变量增量趋向于零时，函数增量与自变量增量比值的极限。导数具有双重意义：从几何角度看，它表示函数图像在该点处切线的斜率；从物理角度看，它表示瞬时变化率。导数概念的建立，统一了各种变化率问题的研究，为微积分学奠定了坚实的基础。