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我们来解决一个代数问题。已知条件是：x的平方减去y的平方等于6，x乘以y等于4。我们需要求出x的平方加上y的平方的值。让我们明确这个问题的结构，然后寻找合适的解题方法。
在解决这个问题之前，我们需要回顾一些重要的代数恒等式。第一个是x加y的平方等于x平方加2xy加y平方。第二个是x减y的平方等于x平方减2xy加y平方。注意这两个恒等式中都包含x平方加y平方这一项。如果我们将这两个恒等式相加，2xy项会相消，得到2倍的x平方加y平方。这个观察将是我们解题的关键。
现在我们开始第一种解法的推导。我们知道x加y的平方等于x平方加2xy加y平方，x减y的平方等于x平方减2xy加y平方。将这两个等式相加，我们得到x加y的平方加上x减y的平方等于2x平方加2y平方，也就是2倍的x平方加y平方。因此，x平方加y平方等于x加y的平方加上x减y的平方除以2。现在我们需要利用已知条件来求出x加y的平方和x减y的平方的值。
现在我们来求解x加y和x减y的值。我们知道x平方减y平方等于x加y乘以x减y等于6，同时xy等于4。设x加y等于a，x减y等于b，那么ab等于6。由于x等于a加b除以2，y等于a减b除以2，所以xy等于a平方减b平方除以4等于4，因此a平方减b平方等于16。现在我们有两个方程：ab等于6，a平方减b平方等于16。由于a平方减b平方等于a加b乘以a减b，即a加b乘以6等于16，所以a加b等于8/3。结合ab等于6，我们可以解得a等于3，b等于2。因此x加y的平方等于9，x减y的平方等于4。