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四阶行列式是线性代数中的重要概念，它是由四乘四矩阵的十六个元素按照特定规则计算得到的一个数值。四阶行列式在求解线性方程组、判断矩阵可逆性以及计算向量组线性相关性等方面都有重要应用。从几何角度来看，四阶行列式表示四维空间中四个向量构成的超体积。接下来我们将学习如何计算四阶行列式。
代数余子式展开法是计算四阶行列式的基本方法。我们选择第一行进行展开，每个元素都要乘以对应的代数余子式。代数余子式等于负一的i加j次方乘以对应的三阶子式。符号规律呈棋盘状分布，正负交替。例如，a11的代数余子式A11等于正一乘以去掉第一行第一列后的三阶行列式，而a12的代数余子式A12等于负一乘以去掉第一行第二列后的三阶行列式。通过这种方法，我们将四阶行列式转化为四个三阶行列式的线性组合。
三阶行列式可以用萨吕斯法则快速计算，也叫对角线法则。首先将矩阵的前两列复制到右侧，形成三乘五的扩展矩阵。然后画出正对角线，包括主对角线和两条平行线，从左上到右下，每条线上的元素相乘得到正项。接着画出负对角线，包括副对角线和两条平行线，从右上到左下，每条线上的元素相乘后取负号。最终结果是所有正项减去所有负项。例如这个三阶行列式，正项是九十加四十二加九十六，负项是一百零五加九十六加三十六，最终结果是负九。
现在我们通过一个具体例子来演示四阶行列式的完整计算过程。给定这个四乘四的行列式，我们按第一行展开。首先计算A11，它等于正一乘以对应的三阶子式，使用萨吕斯法则计算得到二十。然后计算A12，它等于负一乘以对应的三阶子式，结果是负十六。接着计算A13，结果是负二十六。最后计算A14，结果是二十。将所有项按展开公式合并：一乘以二十，加上二乘以负十六，加上三乘以负二十六，加上四乘以二十，最终结果等于二十减三十二减七十八加八十，等于负十。
行列变换是简化四阶行列式计算的高级技巧。我们可以利用行列式的性质，通过行变换将矩阵化为上三角形式。变换规则包括：交换两行会使行列式变号，某行乘以常数k会使行列式乘以k，某行加上另一行的k倍不改变行列式的值。通过这个例子演示：首先第三行减去三倍第一行，然后第二行减去两倍第一行，接着第四行减去四倍第一行，最后第三行加上第二行。经过这些变换，我们得到上三角矩阵，其行列式值等于主对角线元素的乘积，即二乘以一乘以负十乘以负十等于二百。这种方法比直接展开计算要简单得多。