视频字幕
二元函数的可微性是多元微积分中的核心概念。对于二元函数z等于f(x,y)，如果在某点(x0,y0)处可微，那么函数在该点的全微分可以表示为dz等于fx乘以dx加上fy乘以dy的形式。这意味着函数在该点附近可以用一个线性函数很好地逼近。从几何角度看，可微的二元函数对应一个光滑的曲面，在可微点处存在唯一的切平面。
偏导数是理解二元函数可微性的关键概念。对于函数z等于f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数fx表示函数沿x方向的变化率，fy表示函数沿y方向的变化率。从几何角度看，fx是曲面与平行于xz平面的截面曲线在该点的切线斜率，fy是曲面与平行于yz平面的截面曲线在该点的切线斜率。这两个偏导数描述了曲面在该点沿坐标轴方向的倾斜程度。
切平面是理解二元函数可微性的重要几何概念。对于可微函数z等于f(x,y)在点(x0,y0)处，切平面方程为z减z0等于fx乘以(x减x0)加上fy乘以(y减y0)。这个平面通过曲面上的给定点，并且与曲面在该点相切。切平面的法向量由偏导数确定，它代表了函数在该点的最佳线性逼近。当我们放大观察曲面上某一点的邻域时，曲面看起来越来越像它的切平面，这正是可微性的几何本质。
仅仅有偏导数存在是不够的，这里我们通过一个重要的反例来说明。考虑函数f(x,y)等于xy除以根号下x平方加y平方，当(x,y)不等于原点时，在原点处定义为0。这个函数在原点处的偏导数都存在且等于0，但是函数在原点处并不可微。原因在于虽然沿坐标轴方向的偏导数存在，但沿其他方向逼近原点时，函数的行为是不一致的。从几何上看，这个函数的图像在原点处形成了一个尖锐的脊状结构，无法用一个平面来很好地逼近。
现在我们来理解可微的充分条件及其几何意义。充分条件是：如果偏导数fx和fy在点(x0,y0)的某个邻域内存在且在该点连续，则函数在该点可微。从几何角度看，偏导数的连续性保证了函数曲面在该点附近是光滑的，没有尖锐的棱角或突变。这种光滑性使得切平面能够很好地逼近曲面，误差项满足小o(ρ)的条件，其中ρ是到基点的距离。当我们在该点的小邻域内观察时，曲面与其切平面之间的差异会随着距离的减小而快速趋于零。