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勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它描述了直角三角形三边之间的关系。在直角三角形中，我们把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。勾股定理告诉我们：两直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。
现在我们用几何方法证明勾股定理。我们构造一个边长为a加b的大正方形，然后用四个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形来填充它。大正方形的面积等于a加b的平方，展开后是a²加2ab加b²。而拼接图形的面积等于四个三角形面积加小正方形面积，即2ab加c²。由于两种计算方法得到的是同一个面积，所以a²加2ab加b²等于2ab加c²，消去2ab后得到a²加b²等于c²，这就证明了勾股定理。
现在我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的勾股数组是3-4-5。我们来计算：3的平方等于9，4的平方等于16，9加16等于25，而5的平方也等于25，所以3²+4²=5²成立。另一个经典例子是5-12-13：5的平方等于25，12的平方等于144，25加144等于169，而13的平方也等于169，所以5²+12²=13²也成立。这些具体的数值验证了勾股定理的正确性。
勾股定理在实际生活中有很多应用。比如梯子靠墙问题：一个5米长的梯子靠在4米高的墙上，我们要求梯子底端距离墙的距离。设这个距离为x，根据勾股定理，x²加4²等于5²，解得x²等于9，所以x等于3米。另一个例子是计算矩形对角线：长6米宽8米的矩形，对角线长度d满足d²等于6²加8²，即d²等于100，所以d等于10米。这些都是勾股定理在实际问题中的直接应用。
现在我们来做几道练习题巩固勾股定理的应用。第一题：已知直角边为6和8，求斜边长度。根据勾股定理，c²等于6²加8²，即36加64等于100，所以c等于10。第二题：已知斜边为10，一直角边为6，求另一直角边。设另一直角边为b，则6²加b²等于10²，解得b²等于64，所以b等于8。第三题：正方形对角线长14，求边长。设边长为a，则a²加a²等于14²，即2a²等于196，所以a²等于98，a等于7倍根号2。通过这些练习，我们掌握了勾股定理的各种应用方法。