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机械振动系统由质量、弹簧和阻尼三个基本元件组成。质量提供惯性，弹簧提供弹性恢复力，阻尼消耗能量。固有频率是系统最重要的动态特性之一，它反映了系统在没有外界激励时的自由振动频率。对于简单的弹簧质量系统，固有频率等于根号k除以m，其中k是弹簧刚度，m是质量。这个频率完全由系统本身的物理参数决定，与外界激励无关。
现在我们来详细推导单自由度系统的固有频率公式。首先建立运动方程，根据牛顿第二定律，质量乘以加速度等于作用力。对于弹簧质量系统，弹簧力等于负的刚度乘以位移。因此得到运动方程：m乘以x的二阶导数加上kx等于零。接下来假设解的形式为A乘以余弦函数。将这个解代入运动方程，经过求导和化简，得到特征方程。最终求解得到固有频率公式：omega等于根号k除以m。这个公式表明，刚度越大频率越高，质量越大频率越低。
当系统具有多个自由度时，问题变得更加复杂。多自由度系统的特点是具有多个质量或多个独立坐标，系统会有多个固有频率，每个频率对应一个特定的振动模态。我们需要用矩阵形式来描述运动方程。质量矩阵M包含各个质量的信息，刚度矩阵K反映系统的弹性连接关系。对于两自由度系统，质量矩阵是对角矩阵，刚度矩阵则包含弹簧之间的耦合效应。坐标向量包含各个质量的位移。这种矩阵表示为求解多自由度系统的固有频率提供了系统化的方法。
多自由度系统的固有频率求解需要通过特征值问题来解决。首先建立特征值问题的标准形式，即K减去omega平方乘以M，再乘以振型向量等于零向量。为了得到非零解，系数矩阵的行列式必须等于零。将具体的质量矩阵和刚度矩阵代入，得到特征方程。对于两自由度等质量等刚度系统，展开行列式得到二次方程。求解这个方程可以得到两个固有频率：第一个频率对应同相振动模态，第二个频率对应反相振动模态。每个固有频率都有其对应的特征振型，反映了系统在该频率下的振动形态。
在实际工程中，大多数结构都是连续系统，需要通过离散化方法转换为多自由度系统进行分析。常用的方法包括集中质量法、有限元方法和瑞利-里兹法。有限元方法是最常用的工程分析方法，其基本步骤包括几何离散化、建立单元特性矩阵、组装总体矩阵、处理边界条件，最后求解特征值问题。以悬臂梁为例，其固有频率公式包含材料特性、几何参数和边界条件的影响。通过有限元分析可以得到各阶固有频率和对应的振型。这些方法在桥梁设计、机械减振、建筑抗震等工程领域有广泛应用，为结构动力学分析提供了重要的理论基础和计算工具。