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拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理。它说明如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么必定存在一点c，使得该点的导数值等于函数在区间端点的平均变化率。从几何上看，这意味着存在一条切线，其斜率等于连接端点的割线斜率。
在证明拉格朗日中值定理之前，我们需要回顾罗尔定理。罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，当函数在区间端点的函数值相等时，必存在一点使得导数为零，即切线水平。而拉格朗日中值定理处理的是一般情况，端点函数值不相等，存在斜率等于割线斜率的切线。证明的关键思路是构造一个辅助函数，将一般情况转化为罗尔定理的特殊情况。
证明的关键是构造一个巧妙的辅助函数。我们定义g(x)等于原函数f(x)减去连接端点的割线函数。从几何上看，辅助函数g(x)表示原函数与割线之间的垂直距离。通过计算可以验证，g(a)等于零，g(b)也等于零，这意味着辅助函数在区间端点的函数值相等，满足了罗尔定理的所有条件。
现在我们验证辅助函数g(x)满足罗尔定理的所有条件。首先，由于原函数f(x)在闭区间上连续，割线函数也连续，所以g(x)在闭区间上连续。其次，由于f(x)在开区间内可导，割线函数也可导，所以g(x)在开区间内可导。最后，我们已经验证了g(a)等于g(b)等于零。因此，根据罗尔定理，必定存在一点c，使得g的导数在c点等于零，即存在水平切线。
现在我们完成最后的推导步骤。首先计算辅助函数g(x)的导数，得到g'(x)等于f'(x)减去割线的斜率。由于我们已经证明存在c使得g'(c)等于零，将此条件代入导数公式，可得f'(c)减去割线斜率等于零。移项后得到f'(c)等于割线斜率，这正是拉格朗日中值定理的结论。从几何上看，我们成功找到了一点c，使得该点的切线斜率等于连接端点的割线斜率。证明完毕！