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泰勒不等式是数学分析中的重要工具，用于估计泰勒多项式逼近原函数时产生的误差。它的基本形式是：函数f(x)与其n阶泰勒多项式Pn(x)的差的绝对值，不超过M乘以x减a的n加1次方除以n加1的阶乘。这里M是n加1阶导数在相应区间上的上界。通过这个不等式，我们可以控制逼近误差，确保计算精度。图中展示了指数函数及其不同阶数的泰勒多项式，可以看出随着阶数增加，逼近效果越来越好。
拉格朗日余项形式是泰勒不等式最常用的形式。当函数f的n加1阶导数在区间a到b上连续时，余项Rn(x)可以表示为f的n加1阶导数在某点ξ处的值，乘以x减a的n加1次方，再除以n加1的阶乘。这里的ξ是介于a和x之间的某个值。通过估计n加1阶导数的最大值Mn+1，我们可以得到余项的上界估计。图中展示了函数、泰勒多项式和余项的关系，绿色线段表示余项的大小，橙色点表示ξ的位置。