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排列组合是数学中的重要概念。排列考虑元素的顺序,比如从A、B、C三个球中选择并排列,ABC和BAC是不同的排列,总共有6种排列方式。而组合不考虑顺序,A、B、C三个球的组合只有一种,就是集合{A,B,C}。理解这个区别是学习排列组合的关键。
排列数的计算有固定公式。从n个不同元素中取r个元素进行排列,记作P(n,r),等于n的阶乘除以(n-r)的阶乘。推导过程是这样的:第一个位置有n种选择,第二个位置有n-1种选择,第三个位置有n-2种选择,依此类推到第r个位置有n-r+1种选择。比如从5个人中选3个人排成一排,第一个位置有5种选择,第二个位置有4种选择,第三个位置有3种选择,所以总共有5乘以4乘以3等于60种排列方式。
组合数的计算公式是C(n,r)等于n的阶乘除以r的阶乘乘以(n-r)的阶乘。这个公式是从排列公式推导出来的。因为排列考虑顺序而组合不考虑顺序,所以我们需要把排列数除以r的阶乘,因为r个元素可以有r的阶乘种排列方式。比如从5个人中选3个人组成小组,计算C(5,3)等于5的阶乘除以3的阶乘乘以2的阶乘,结果是10。这10种组合分别是:{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}。
现在我们来看几个排列组合的实际应用例子。第一个是密码锁问题,这是排列的应用。如果有一个4位数字密码锁,每一位都可以选择0到9这10个数字,那么总共有10的4次方等于10000种可能的密码组合。第二个是选课问题,这是组合的应用。如果要从10门课程中选择5门课,由于选课不考虑顺序,所以用组合公式C(10,5)等于252种不同的选法。第三个是排队问题,6个人排队,要求甲和乙必须相邻。我们可以把甲乙看作一个整体,这样就是5个单位的排列,有5!种方法,但甲乙内部还可以交换位置,所以总共有2乘以5!等于240种排法。
最后我们来看几种特殊的排列组合问题。第一种是重复排列问题,当有相同元素时,排列数要除以相同元素的阶乘。比如AABBC这5个字母的排列,由于有2个A和2个B,所以排列数是5的阶乘除以2的阶乘乘以2的阶乘乘以1的阶乘,等于30种。第二种是圆形排列问题,n个人围成圆桌的排列数是(n-1)的阶乘,因为圆形排列中旋转后相同的排列被认为是一种。比如5个人围桌就是4的阶乘等于24种。第三种是分组问题,将n个不同元素分成若干组时,要考虑组内不分顺序,组间也不分顺序的情况。比如6个人分成3组,每组2人,计算方法是C(6,2)乘以C(4,2)乘以C(2,2)再除以3的阶乘。