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排列组合是数学中的重要概念。排列考虑元素的顺序，比如从A、B、C三个球中选择并排列，ABC和BAC是不同的排列，总共有6种排列方式。而组合不考虑顺序，A、B、C三个球的组合只有一种，就是集合{A,B,C}。理解这个区别是学习排列组合的关键。
排列数的计算有固定公式。从n个不同元素中取r个元素进行排列，记作P(n,r)，等于n的阶乘除以(n-r)的阶乘。推导过程是这样的：第一个位置有n种选择，第二个位置有n-1种选择，第三个位置有n-2种选择，依此类推到第r个位置有n-r+1种选择。比如从5个人中选3个人排成一排，第一个位置有5种选择，第二个位置有4种选择，第三个位置有3种选择，所以总共有5乘以4乘以3等于60种排列方式。
组合数的计算公式是C(n,r)等于n的阶乘除以r的阶乘乘以(n-r)的阶乘。这个公式是从排列公式推导出来的。因为排列考虑顺序而组合不考虑顺序，所以我们需要把排列数除以r的阶乘，因为r个元素可以有r的阶乘种排列方式。比如从5个人中选3个人组成小组，计算C(5,3)等于5的阶乘除以3的阶乘乘以2的阶乘，结果是10。这10种组合分别是：{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}。
现在我们来看几个排列组合的实际应用例子。第一个是密码锁问题，这是排列的应用。如果有一个4位数字密码锁，每一位都可以选择0到9这10个数字，那么总共有10的4次方等于10000种可能的密码组合。第二个是选课问题，这是组合的应用。如果要从10门课程中选择5门课，由于选课不考虑顺序，所以用组合公式C(10,5)等于252种不同的选法。第三个是排队问题，6个人排队，要求甲和乙必须相邻。我们可以把甲乙看作一个整体，这样就是5个单位的排列，有5!种方法，但甲乙内部还可以交换位置，所以总共有2乘以5!等于240种排法。
最后我们来看几种特殊的排列组合问题。第一种是重复排列问题，当有相同元素时，排列数要除以相同元素的阶乘。比如AABBC这5个字母的排列，由于有2个A和2个B，所以排列数是5的阶乘除以2的阶乘乘以2的阶乘乘以1的阶乘，等于30种。第二种是圆形排列问题，n个人围成圆桌的排列数是(n-1)的阶乘，因为圆形排列中旋转后相同的排列被认为是一种。比如5个人围桌就是4的阶乘等于24种。第三种是分组问题，将n个不同元素分成若干组时，要考虑组内不分顺序，组间也不分顺序的情况。比如6个人分成3组，每组2人，计算方法是C(6,2)乘以C(4,2)乘以C(2,2)再除以3的阶乘。