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一元二次方程是数学中的重要概念。它是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。标准形式为ax²+bx+c=0，其中a不等于0是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。让我们看几个具体例子：x²-5x+6=0，这里a=1，b=-5，c=6；2x²+3x-1=0，这里a=2，b=3，c=-1；还有x²-4=0，这里a=1，b=0，c=-4。注意当b=0时，方程仍然是一元二次方程。
判别式是判断一元二次方程根的性质的重要工具。判别式Δ等于b²减去4ac。根据判别式的值，我们可以判断方程根的情况：当Δ大于0时，方程有两个不等的实根，对应的抛物线与x轴有两个交点；当Δ等于0时，方程有一个重根，抛物线与x轴相切于一点；当Δ小于0时，方程无实根，抛物线与x轴没有交点。这种几何直观帮助我们更好地理解判别式的意义。
现在我们来推导一元二次方程的求根公式。从标准形式ax²+bx+c=0开始，第一步将常数项移到右边，得到ax²+bx=-c。第二步两边同时除以a，得到x²+b/a·x=-c/a。第三步是关键的配方过程，在左边加上(b/2a)²，右边也要加上相同的项，得到完全平方式。化简后得到(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²。第四步对两边开方，得到x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a。最后移项得到求根公式：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。这个公式适用于所有一元二次方程的求解。
现在我们通过具体例题来演示求根公式的使用。首先回顾求根公式：x等于负b加减根号下b²减4ac，全部除以2a。例题1：解方程x²-7x+12=0。这里a=1，b=-7，c=12。先计算判别式：Δ等于负7的平方减去4乘1乘12，等于49减48等于1。代入求根公式：x等于7加减根号1除以2，即7加减1除以2，所以x₁=4，x₂=3。例题2：解方程2x²-4x+1=0。这里a=2，b=-4，c=1。判别式Δ等于负4的平方减去4乘2乘1，等于16减8等于8。代入公式：x等于4加减根号8除以4，化简得x等于4加减2根号2除以4，最终得到两个根。计算完成后要验证答案的正确性。
韦达定理揭示了一元二次方程根与系数之间的重要关系。对于方程ax²+bx+c=0，如果x₁和x₂是它的两个根，那么两根之和x₁+x₂等于负b除以a，两根之积x₁·x₂等于c除以a。这个定理有重要的实际应用，可以帮助我们快速判断根的符号和大小关系。当c/a大于0时，两根同号；当c/a小于0时，两根异号。结合两根之和的符号，我们可以进一步判断根的正负性。让我们用例子x²-5x+6=0来验证，它的根是2和3。根据韦达定理，2+3=5等于-(-5)/1，2×3=6等于6/1，完全符合定理。韦达定理让我们不用解方程就能判断根的性质，这在数学解题中非常实用。