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数学与音乐的联系可以追溯到古希腊时期。毕达哥拉斯学派发现了弦长与音高之间的数学关系：弦长越短，音高越高，而且弦长的简单整数比例能够产生和谐的音程。例如，当弦长减半时，音高升高一个八度；当弦长为原来的三分之二时，音高升高一个纯五度。这一发现揭示了音乐和谐背后的数学规律。
声音的物理本质是空气的振动，而音高与振动频率直接相关。频率等于周期的倒数，即f等于1除以T。音高与频率呈对数关系，这意味着频率每增加一倍，音高就升高一个八度。国际标准音A的频率是440赫兹。八度音程对应频率的2倍关系，例如220赫兹、440赫兹、880赫兹分别对应A3、A4、A5，它们的频率比为1比2比4。
不同音程之间存在着精确的数学比例关系。纯八度对应2比1的频率比，纯五度对应3比2，纯四度对应4比3，大三度对应5比4，小三度对应6比5。这些简单的整数比例正是音程听起来和谐悦耳的数学原因。比例越简单，音程听起来越和谐。这些比例关系可以在钢琴键盘上直观地看到，也可以用圆形图表和条形图来展示它们的数学美感。
十二平均律是现代音乐体系的数学基础。它的核心公式是f等于f0乘以2的n除以12次方，其中n是半音数。这个公式将八度音程等分为12个半音，每个半音的频率比都等于2的十二分之一次方，约等于1.059。通过这种方式，从C到C的12个半音形成一个完整的八度。螺旋图展示了音高的螺旋上升规律，而指数函数图像则直观地显示了频率随半音数的指数增长关系。
和弦的数学结构揭示了音乐和谐的奥秘。大三和弦的频率比为1比五分之四比二分之三，小三和弦为1比五分之六比二分之三，七和弦则增加了四分之七的比例。这些简单的整数比例关系决定了和弦的稳定性和和谐程度。多层圆环图展示了和弦中各音的层次关系，频谱分析图显示了和弦的谐波结构，波形图则直观地展现了不同频率成分的叠加效果。