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圆是平面上到定点距离相等的点的集合。圆有半径r，直径2r，圆周长2πr。圆的面积公式是πr²，但这个公式是如何得来的呢？今天我们将用切割近似法来推导这个重要公式。
今天我们用切割近似法来推导圆的面积公式。基本思路是将圆等分成许多扇形，然后把这些扇形重新拼接成近似的平行四边形或长条形。扇形数量越多，拼成的图形就越接近一个标准的矩形，从而可以用矩形面积公式来计算圆的面积。
现在我们将圆等分成8个扇形。每个扇形的圆心角都是45度，也就是π除以4弧度。我们用不同的颜色来区分这8个扇形，这样便于观察后续的拼接过程。每个扇形都有相同的半径r和相同的弧长。
现在我们将这8个扇形交错排列，拼接成近似的长条形。可以看到，拼接后的图形接近一个矩形。这个矩形的宽度约等于圆周长的一半，也就是πr，高度等于圆的半径r。因此，矩形的面积约等于πr乘以r，即πr的平方。当扇形数量越来越多时，这个近似就越来越精确。
现在我们将这8个扇形从圆中分离出来，然后进行重新排列。我们采用交错排列的方式，让扇形的尖端部分和弧形部分交替排列。这样排列后，我们得到一个上下边缘呈锯齿状的长条形图形。可以看到，这个图形已经很接近一个矩形了，只是边缘还不够平滑。
现在我们来分析拼接后图形的几何特征。这个近似矩形的底边长度约等于圆周长的一半，也就是πr。为什么是一半呢？因为我们把扇形交错排列，相当于把整个圆周长2πr分成了两部分。图形的高度等于圆的半径r。虽然上下边缘还有锯齿状的不平整，但整体面积约等于πr乘以r，即πr的平方。
现在我们来看看增加切割精度的效果。当我们将圆分割成16个扇形时，拼接后的图形比8个扇形时更接近矩形。当分割成32个扇形时，锯齿状的边缘变得更加平滑。随着扇形数量不断增加，拼接后的图形越来越接近一个标准的矩形。在数学上，当扇形数量趋于无穷时，近似面积就等于圆的精确面积πr²。