勾股定理的拼图法证明 [文本] 让我们用“拼图法”来直观证明勾股定理： 画出两个完全相同的正方形，每个边长为(a+b)。 在每个正方形中分别拼放4个全等的直角三角形。 剩下的部分分别恰好组成两个不同的正方形：一个面积为a²和b²，另一个面积为c²。 因为两种拼法覆盖的区域完全相同，所以a² + b² = c²。 [动画] 出现一个大正方形，边长标注为(a+b)，加粗显示。 在正方形内部，依次动画拼入4个直角三角形，三角形的a、b、c边用不同颜色显示。 剩下的空白区域自动填充成两个小正方形，分别标注a²和b²，高亮显示两小正方形。 屏幕切换到第二种拼法：同样的正方形和4个三角形，剩下的空白区域组成一个大正方形，标注为c²，加粗并变色。 最后将a²、b²、c²三个面积并列显示，用动画连线，形成a² + b² = c²的等式。 用闪烁的箭头强调“面积相等”这一结论。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。接下来我们将用拼图法来直观地证明这个定理。 拼图法证明勾股定理的核心思想是利用面积相等的原理。我们准备两个完全相同的大正方形，每个边长都是 a 加 b。然后在每个正方形中都放入4个完全相同的直角三角形，但采用两种不同的拼图方式。由于使用的是相同的几何元素，两种拼法的总面积必然相等，通过比较剩余区域的面积，我们就能证明勾股定理。 现在我们来看第一种拼法。首先画一个边长为 a 加 b 的大正方形。然后依次放入4个全等的直角三角形，每个三角形的三边分别用蓝色、红色和绿色标注，代表边长 a、b 和 c。当4个三角形都放入后，我们发现剩余的空白区域恰好组成了两个小正方形：一个边长为 a 的正方形，面积是 a²；另一个边长为 b 的正方形，面积是 b²。 现在我们来看第二种拼法。我们使用同样边长为 a 加 b 的大正方形，也是放入4个完全相同的直角三角形，但这次采用不同的排列方式。将4个三角形沿着正方形的四个角重新排列，使得它们的斜边朝向中心。这样排列后，剩余的空白区域恰好形成一个边长为 c 的正方形，面积为 c²。注意这个 c² 正方形是倾斜的，但面积确实是 c²。 现在我们来完成最后的推导。由于两种拼法使用了完全相同的大正方形和4个相同的直角三角形，所以它们的总面积必然相等。拼法一的面积等于4个三角形面积加上 a² 和 b²，拼法二的面积等于4个三角形面积加上 c²。因为总面积相等，我们可以消去两边相同的4个三角形面积，最终得到 a² + b² = c²。这就是勾股定理！拼图法通过直观的面积比较，完美地证明了这个几何学中的重要定理。