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今天我们来解决一个经典的水桶问题。我们有两个水桶：A桶可以装4千克水，B桶可以装11千克水。两个桶都没有刻度，我们的目标是用这两个桶准确得到5千克水。这类问题不仅是有趣的智力题，在实际生活中也有应用价值，比如在没有精确测量工具时进行液体分配。
在解决水桶问题之前，我们需要明确可以进行的操作。总共有三种基本操作：第一，装满任意一个水桶；第二，倒空任意一个水桶；第三，从一个桶倒水到另一个桶，直到源桶空了或者目标桶满了为止。让我们通过动画来演示这些操作。
现在让我们详细演示解法一的完整过程。第一步，装满B桶，得到11千克水。第二步，将B桶的水倒入A桶，A桶装满4千克，B桶剩余7千克。第三步，倒空A桶。第四步，将B桶剩余的7千克水倒入A桶，A桶装入4千克，B桶剩余3千克。第五步，重新装满B桶，得到11千克水。第六步，将B桶的水倒入A桶直到A桶装满，此时B桶剩余5千克水，正好是我们的目标！
现在让我们看看解法二。第一步，装满A桶得到4千克水。第二步，将A桶倒入B桶。第三步，再次装满A桶。第四步，将A桶倒入B桶，此时B桶有8千克，A桶剩余1千克。第五步，倒空B桶。第六步，将A桶的1千克水倒入B桶。第七步，装满A桶再倒入B桶，得到5千克水。解法二需要7个步骤，比解法一多一步，但思路不同，展现了问题的多解性。
现在让我们从数学角度理解为什么这些方法有效。根据贝祖等式，对于任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax加by等于它们的最大公约数。4和11的最大公约数是1，这意味着我们可以通过4和11的线性组合得到1，进而得到1到11之间的任意整数。由于5在这个范围内，所以一定存在解法。这就是水桶问题背后的数学原理。